A C. 1360. feladat (2016. május)

C. 1360. Hány oldalú szabályos sokszögeknek van olyan átlója, melynek Thalész-köre átmegy a sokszög valamely oldalának felezőpontján?

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha a sokszög \(\displaystyle AB\) oldalának \(\displaystyle F\) felezőpontján megy át a \(\displaystyle B\) pontból induló egyik átló Thalész-köre, akkor az átló másik végpontja, a sokszög egyik csúcsa, az \(\displaystyle AB\) felező merőlegesének a sokszög köré írt körrel való metszéspontja \(\displaystyle E\). (1. ábra) Ekkor az \(\displaystyle EF\) felező merőleges a sokszög szimmetria tengelye. Tehát minden páratlan, \(\displaystyle n\geq5\) oldalszámú szabályos sokszögre igaz az állítás.

1. ábra

Belátjuk, hogy páros oldalszámú szabályos sokszögeknek nincs ilyen átlója.

A \(\displaystyle 2n\) oldalú szabályos sokszög leghosszabb átlója nem jó, hiszen Thalész-köre a körülírt kör, ez egyik oldal felezőpontját sem tartalmazza. A többi átló esetén vizsgáljuk a Thalész-körnek a sokszög beírt körével (a továbbiakban \(\displaystyle k\)) való metszéspontjait.

Mivel \(\displaystyle k\) nem tartalmaz egy csúcsot sem, a Thalész-kör viszont bármelyik átló esetén igen, így a két kör nem eshet egybe. Tehát legfeljebb két metszéspontjuk lehet. Ha egyik sem oldalfelező pont, akkor készen vagyunk, hiszen \(\displaystyle k\) tartalmazza az összes oldalfelezőpontot. Mivel a sokszög, és mindkét vizsgált kör is szimmetrikus az adott átló felezőmerőlegesére, így elég az egyik metszéspontról belátnunk, hogy nem oldalfelezőpont.

Ha \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle MN\) a sokszög két szemközti oldala úgy, hogy \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle M\) szemközti csúcsok, akkor \(\displaystyle AN\) átló merőleges az említett két oldalra, hiszen a szimmetria miatt ugyanakkora szöget zár be velük, és \(\displaystyle AB\) oldal \(\displaystyle MN\) oldallal való párhuzamossága miatt ez csak \(\displaystyle 90°\) lehet.

\(\displaystyle AN\) (és így minden ugyanilyen hosszúságú átló) Thalész-körének sugara megegyezik \(\displaystyle k\) sugarával. Ennek a két körnek közös érintői az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle MN\) oldalak egyenesei, így a két metszéspont a sokszögön belül helyezkedik el, nem lehet oldal felezőpontja.

Legyen \(\displaystyle P\) egy olyan csúcsa a sokszögnek, amely az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle N\) csúcsok közötti rövidebb íven helyezkedik el. Az \(\displaystyle A\) csúcs melletti oldalfelezőpontok által meghatározott rövidebb ív \(\displaystyle k\)-n legyen \(\displaystyle i\). Mivel \(\displaystyle PA\) metszi \(\displaystyle i\)-t és \(\displaystyle PAB\angle\) tompaszög, ezért \(\displaystyle PA\) Thalész-köre metszi az \(\displaystyle i\) ívet.Ez a metszéspont a sokszögön belül helyezkedik el, hiszen \(\displaystyle i\) teljes egészében benne van.

A korábban leírtak szerint, mivel a sokszög belsejében levő metszéspont nem lehet oldalfelezőpont, valamint ezzel már az összes átlót lefedtük, beláttuk, hogy páros számú oldallal rendelkező szabályos sokszögek nem elégíthetik ki a feladat feltételét.

2. ábra

Statisztika:

56 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Csorba Benjámin, Fekete Balázs Attila, Kormányos Hanna Rebeka, Németh Csilla Márta, Szécsi Adél Lilla, Tatai Mihály, Weisz Máté.
4 pontot kapott:	Geretovszky Anna, Kasó Ferenc, Marozsák Tóbiás , Nagy 911 Viktória, Perger Kitti, Szalay Gergő, Weisz Viktória.
3 pontot kapott:	21 versenyző.
2 pontot kapott:	14 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2016. májusi matematika feladatai