A C. 1360. feladat (2016. május)

C. 1360. Hány oldalú szabályos sokszögeknek van olyan átlója, melynek Thalész-köre átmegy a sokszög valamely oldalának felezőpontján?

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha a sokszög $\displaystyle AB$ oldalának $\displaystyle F$ felezőpontján megy át a $\displaystyle B$ pontból induló egyik átló Thalész-köre, akkor az átló másik végpontja, a sokszög egyik csúcsa, az $\displaystyle AB$ felező merőlegesének a sokszög köré írt körrel való metszéspontja $\displaystyle E$. (1. ábra) Ekkor az $\displaystyle EF$ felező merőleges a sokszög szimmetria tengelye. Tehát minden páratlan, $\displaystyle n\geq5$ oldalszámú szabályos sokszögre igaz az állítás.

1. ábra

Belátjuk, hogy páros oldalszámú szabályos sokszögeknek nincs ilyen átlója.

A $\displaystyle 2n$ oldalú szabályos sokszög leghosszabb átlója nem jó, hiszen Thalész-köre a körülírt kör, ez egyik oldal felezőpontját sem tartalmazza. A többi átló esetén vizsgáljuk a Thalész-körnek a sokszög beírt körével (a továbbiakban $\displaystyle k$) való metszéspontjait.

Mivel $\displaystyle k$ nem tartalmaz egy csúcsot sem, a Thalész-kör viszont bármelyik átló esetén igen, így a két kör nem eshet egybe. Tehát legfeljebb két metszéspontjuk lehet. Ha egyik sem oldalfelező pont, akkor készen vagyunk, hiszen $\displaystyle k$ tartalmazza az összes oldalfelezőpontot. Mivel a sokszög, és mindkét vizsgált kör is szimmetrikus az adott átló felezőmerőlegesére, így elég az egyik metszéspontról belátnunk, hogy nem oldalfelezőpont.

Ha $\displaystyle AB$ és $\displaystyle MN$ a sokszög két szemközti oldala úgy, hogy $\displaystyle A$ és $\displaystyle M$ szemközti csúcsok, akkor $\displaystyle AN$ átló merőleges az említett két oldalra, hiszen a szimmetria miatt ugyanakkora szöget zár be velük, és $\displaystyle AB$ oldal $\displaystyle MN$ oldallal való párhuzamossága miatt ez csak $\displaystyle 90°$ lehet.

$\displaystyle AN$ (és így minden ugyanilyen hosszúságú átló) Thalész-körének sugara megegyezik $\displaystyle k$ sugarával. Ennek a két körnek közös érintői az $\displaystyle AB$ és $\displaystyle MN$ oldalak egyenesei, így a két metszéspont a sokszögön belül helyezkedik el, nem lehet oldal felezőpontja.

Legyen $\displaystyle P$ egy olyan csúcsa a sokszögnek, amely az $\displaystyle A$ és $\displaystyle N$ csúcsok közötti rövidebb íven helyezkedik el. Az $\displaystyle A$ csúcs melletti oldalfelezőpontok által meghatározott rövidebb ív $\displaystyle k$-n legyen $\displaystyle i$. Mivel $\displaystyle PA$ metszi $\displaystyle i$-t és $\displaystyle PAB\angle$ tompaszög, ezért $\displaystyle PA$ Thalész-köre metszi az $\displaystyle i$ ívet.Ez a metszéspont a sokszögön belül helyezkedik el, hiszen $\displaystyle i$ teljes egészében benne van.

A korábban leírtak szerint, mivel a sokszög belsejében levő metszéspont nem lehet oldalfelezőpont, valamint ezzel már az összes átlót lefedtük, beláttuk, hogy páros számú oldallal rendelkező szabályos sokszögek nem elégíthetik ki a feladat feltételét.

2. ábra

Statisztika:

56 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Csorba Benjámin, Fekete Balázs Attila, Kormányos Hanna Rebeka, Németh Csilla Márta, Szécsi Adél Lilla, Tatai Mihály, Weisz Máté.
4 pontot kapott:	Geretovszky Anna, Kasó Ferenc, Marozsák Tóbiás , Nagy 911 Viktória, Perger Kitti, Szalay Gergő, Weisz Viktória.
3 pontot kapott:	21 versenyző.
2 pontot kapott:	14 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2016. májusi matematika feladatai