A C. 1361. feladat (2016. május)

C. 1361. Az \(\displaystyle ax^2+bx+c=0\) egyenletben az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) pozitív egész számok ebben a sorrendben számtani sorozatot alkotnak. Az egyenlet gyökei is egész számok. Mennyi a két gyök értéke?

Javasolta: Kertész Ádám

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a másodfokú egyenlet \(\displaystyle ax^2+bx+c=0\). Osszunk le \(\displaystyle a\)-val és legyen \(\displaystyle p=b/a\) és \(\displaystyle q=c/a\). Ekkor az egyenlet \(\displaystyle x^2+px+q=0\).

Felhasználjuk a gyökök és együtthatók közötti összefüggéseket. Mivel a két gyök egész, így összegük, \(\displaystyle -p\) is az. Szorzatuk is egész, így \(\displaystyle q\) is az. Az együtthatók az új egyenletben is számtani sorozatot alkotnak, melynek első két tagja 1 és \(\displaystyle p\), ezért a sorozat különbsége \(\displaystyle d=p-1\).

A sorozat harmadik tagja így: \(\displaystyle q=p+d=2p-1\), ezért az egyenlet \(\displaystyle x^2+px+2p-1=0\). Gyökei: \(\displaystyle x_{1,2}=\frac{-p\pm\sqrt{p^2-8p+4}}{2}\).

Az egyenlet diszkriminánsa nem lehet negatív: \(\displaystyle D=p^2-8p+4=(p-4)^2-12\geq0\), amiből \(\displaystyle (p-4)^2\geq12\). Mivel \(\displaystyle p\) pozitív szám, ezért \(\displaystyle p\geq8\).

A diszkriminánsnak négyzetszámnak kell lennie. Láttuk, hogy \(\displaystyle D<(p-4)^2\) és \(\displaystyle p\)-vel azonos paritásúnak kell lennie, hogy gyökének \(\displaystyle p\)-vel vett összege és különbsége osztható legyen 2-vel, így \(\displaystyle D\leq (p-6)^2\).

\(\displaystyle D=p^2-8p+4\leq (p-6)^2=p^2-12p+36\), amiből \(\displaystyle p\leq8\).

Azt kaptuk, hogy \(\displaystyle p\geq8\) és \(\displaystyle p\leq8\), tehát csak 8 lehet. A \(\displaystyle p= 8\) kielégíti a feladat feltételeit, ezért a keresett másodfokú egyenlet az \(\displaystyle x^2+8x+15=0\) (vagy ennek bármelyik pozitív egész számú többszöröse), a két gyök pedig: \(\displaystyle x_1=-3\) és \(\displaystyle x_2=-5\).

Statisztika:

58 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bukor Benedek, Csorba Benjámin, Dávid Levente, Édes Lili, Fekete Balázs Attila, Geretovszky Anna, Horváth András János, Kasó Ferenc, Kiss Vivien Mercédesz, Kocsis Júlia, Kormányos Hanna Rebeka, Marozsák Tóbiás , Márton Anna, Molnár 410 István, Nagy 911 Viktória, Nagymihály Panka, Németh Csilla Márta, Tatai Mihály, Weisz Máté, Zsombó István.
4 pontot kapott:	Fajszi Bulcsú, Fülöp Ágota, Garamvölgyi István Attila, Gera Dóra, Inges Zénó, Kósa Szilárd, Lapu Kolos, Mályusz Attila, Mikulás Zsófia, Páhoki Tamás, Póta Balázs, Richlik Róbert, Sal Dávid, Sudár Ákos, Szajkó Gréta, Szilágyi Éva, Tóth 111 Máté , Varga 157 Kristóf.
3 pontot kapott:	7 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.

A KöMaL 2016. májusi matematika feladatai