 |
A C. 1369. feladat (2016. szeptember) |
C. 1369. Egy háromszög súlypontjának koordinátái \(\displaystyle \left(5;-\frac{5}{3}\right)\), magasságpontjának \(\displaystyle (3;-1)\), egyik csúcsának pedig \(\displaystyle (7;3)\). Adjuk meg a másik két csúcs koordinátáit.
(5 pont)
A beküldési határidő 2016. október 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyen \(\displaystyle F\) az \(\displaystyle a\) oldal felezőpontja és használjuk az ábra jelöléseit.
Ekkor az \(\displaystyle S\) súlypont 2:1 arányban osztja az \(\displaystyle AF\) szakaszt. Ebből \(\displaystyle F\) koordinátái kiszámíthatók: \(\displaystyle \frac{2x_F+7}{3}=5\), \(\displaystyle \frac{2y_F+3}{3}=-\frac53\), amiből \(\displaystyle x_F=4\) és \(\displaystyle y_F=-4\), vagyis \(\displaystyle F(4;-4)\).
Az \(\displaystyle a\) oldal egyenese átmegy az \(\displaystyle F\) ponton és merőleges az \(\displaystyle AM\) egyenesre, ezért egyik pontja \(\displaystyle F(4;-4)\), normálvektora \(\displaystyle \overrightarrow{MA}=(4;4)\), így egyenlete \(\displaystyle x+y=0\), vagyis \(\displaystyle y=-x\).
Az \(\displaystyle M\) magasságpont, az \(\displaystyle S\) súlypont és \(\displaystyle O\), a körülírt kör középpontja a háromszög Euler-egyenesén vannak és az \(\displaystyle S\) pont 2:1 arányban osztja az \(\displaystyle MO\) szakaszt. Ebből az \(\displaystyle O\) pont koordinátái kiszámíthatók: \(\displaystyle \frac{2x_O+3}{3}=5\), \(\displaystyle \frac{2y_O-1}{3}=-\frac53\), amiből \(\displaystyle x_O=6\) és \(\displaystyle y_O=-2\), vagyis \(\displaystyle O(6;-2)\).
A háromszög köré írt kör sugara: \(\displaystyle r=|\overrightarrow{OA}|=\sqrt{(7-6)^2+(3+2)^2}=\sqrt{26}\), egyenlete: \(\displaystyle (x-6)^2+(y+2)^2=26\).
A \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) csúcsok koordinátáit az \(\displaystyle a\) oldalegyenes és a kör metszéspontjai adják:
\(\displaystyle (x-6)^2+(y+2)^2=26,\)
\(\displaystyle y=-x.\)
Behelyettesítve:
\(\displaystyle (x-6)^2+(2-x)^2=26,\)
\(\displaystyle x^2-12x+36+4-4x+x^2=26.\)
Rendezve:
\(\displaystyle 2x^2-16x+14=0,\)
\(\displaystyle x^2-8x+7=0.\)
Megoldások: \(\displaystyle x_1=1\), \(\displaystyle x_2=7\). A megfelelő \(\displaystyle y\) koordináták: \(\displaystyle y_1=-1\), \(\displaystyle y_2=-7\).
Tehát a háromszög másik két csúcsának koordinátái: \(\displaystyle B(1;-1)\) és \(\displaystyle C(7;-7\)).
Statisztika:
90 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 51 versenyző. 4 pontot kapott: 4 versenyző. 3 pontot kapott: 9 versenyző. 2 pontot kapott: 6 versenyző. 1 pontot kapott: 15 versenyző. 0 pontot kapott: 4 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2016. szeptemberi matematika feladatai