A C. 1369. feladat (2016. szeptember)

C. 1369. Egy háromszög súlypontjának koordinátái $\displaystyle \left(5;-\frac{5}{3}\right)$, magasságpontjának $\displaystyle (3;-1)$, egyik csúcsának pedig $\displaystyle (7;3)$. Adjuk meg a másik két csúcs koordinátáit.

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen $\displaystyle F$ az $\displaystyle a$ oldal felezőpontja és használjuk az ábra jelöléseit.

Ekkor az $\displaystyle S$ súlypont 2:1 arányban osztja az $\displaystyle AF$ szakaszt. Ebből $\displaystyle F$ koordinátái kiszámíthatók: $\displaystyle \frac{2x_F+7}{3}=5$, $\displaystyle \frac{2y_F+3}{3}=-\frac53$, amiből $\displaystyle x_F=4$ és $\displaystyle y_F=-4$, vagyis $\displaystyle F(4;-4)$.

Az $\displaystyle a$ oldal egyenese átmegy az $\displaystyle F$ ponton és merőleges az $\displaystyle AM$ egyenesre, ezért egyik pontja $\displaystyle F(4;-4)$, normálvektora $\displaystyle \overrightarrow{MA}=(4;4)$, így egyenlete $\displaystyle x+y=0$, vagyis $\displaystyle y=-x$.

Az $\displaystyle M$ magasságpont, az $\displaystyle S$ súlypont és $\displaystyle O$, a körülírt kör középpontja a háromszög Euler-egyenesén vannak és az $\displaystyle S$ pont 2:1 arányban osztja az $\displaystyle MO$ szakaszt. Ebből az $\displaystyle O$ pont koordinátái kiszámíthatók: $\displaystyle \frac{2x_O+3}{3}=5$, $\displaystyle \frac{2y_O-1}{3}=-\frac53$, amiből $\displaystyle x_O=6$ és $\displaystyle y_O=-2$, vagyis $\displaystyle O(6;-2)$.

A háromszög köré írt kör sugara: $\displaystyle r=|\overrightarrow{OA}|=\sqrt{(7-6)^2+(3+2)^2}=\sqrt{26}$, egyenlete: $\displaystyle (x-6)^2+(y+2)^2=26$.

A $\displaystyle B$ és $\displaystyle C$ csúcsok koordinátáit az $\displaystyle a$ oldalegyenes és a kör metszéspontjai adják:

$\displaystyle (x-6)^2+(y+2)^2=26,$

$\displaystyle y=-x.$

Behelyettesítve:

$\displaystyle (x-6)^2+(2-x)^2=26,$

$\displaystyle x^2-12x+36+4-4x+x^2=26.$

Rendezve:

$\displaystyle 2x^2-16x+14=0,$

$\displaystyle x^2-8x+7=0.$

Megoldások: $\displaystyle x_1=1$, $\displaystyle x_2=7$. A megfelelő $\displaystyle y$ koordináták: $\displaystyle y_1=-1$, $\displaystyle y_2=-7$.

Tehát a háromszög másik két csúcsának koordinátái: $\displaystyle B(1;-1)$ és $\displaystyle C(7;-7$).

Statisztika:

90 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	51 versenyző.
4 pontot kapott:	4 versenyző.
3 pontot kapott:	9 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	15 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2016. szeptemberi matematika feladatai