A C. 1370. feladat (2016. szeptember)

C. 1370. A menzán kilenc diák három szabad, négyszemélyes asztalhoz ül. Mekkora annak a valószínűsége, hogy mindhárom asztalnál különböző számú diák foglal helyet?

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Általában egy esemény valószínűségét úgy határozzuk meg, hogy a kedvező esetek számát az összes eset számával osztjuk, amennyiben a különböző esetek egyenlő valószínűségűek. Minden feladatban mi határozhatjuk meg, hogy mik az (elemi) események. Ebben a példában egy ülésrend – ahol pontosan tudjuk, hogy melyik széken ki ül – biztosan lehet elemi esemény. Az így kapott események halmaza legyen \(\displaystyle \cal H_1\).

Legyen most elemi esemény az, hogy mely székeken ülnek gyerekek – mindegy, hogy melyik gyerek. Nevezzük az így kapott események halmazát \(\displaystyle \cal H_2\)-nek. Ekkor minden \(\displaystyle \cal H_2\)-beli eseményhez 9! \(\displaystyle \cal H_1\)-beli esemény tartozik, hiszen helycserével a gyerekek ugyanezeket a székeket elfoglalva 9!-féleképpen ülhetnek le. Tehát a \(\displaystyle \cal H_2\) halmaz elemei szintén tekinthetők elemi eseményeknek.

Mi most a \(\displaystyle \cal H_2\) halmaz kedvező és összes eseményeinek megszámlálásával oldjuk meg a feladatot. Csoportosítsuk a lehetséges eseteket aszerint, hogy melyik asztalnál hány diák ül:

1. Minden asztalhoz 3 diák ül le. Ekkor egy-egy asztalnál az 1 üres szék kiválasztása 4-féle lehet. Így az esetek száma: \(\displaystyle 4^3=64\).

2. Egy asztalhoz 2, egy másikhoz 3, a harmadikhoz pedig 4 diák ül le. Ekkor azt, hogy melyik színű asztalnál hányan ülnek, \(\displaystyle 3!=6\)-féleképp lehet megvalósítani. Annál az asztalnál, ahol 2 fő ül, az üres székek kiválasztása \(\displaystyle \binom42=6\)-féle lehet, ahol 3 fő ül, ott 4-féle, ahol 4 fő, ott 1-féle. Így az esetek száma: \(\displaystyle 6\cdot6\cdot4=144\).

3. Egy asztalnál 1 diák ül, a másik kettőnél pedig 4-4. Azt, hogy melyik asztalnál ül csak egy diák, 3-féleképp lehet kiválasztani. Ez a diák 4 helyen ülhet az asztalnál. A másik két asztalnál minden szék foglalt. Így az esetek száma: \(\displaystyle 3\cdot4=12\).

Az összes eset száma: \(\displaystyle 64+144+12=220\). Kedvező esetek száma (2. lehetőség): \(\displaystyle 144\). Így a keresett valószínűség: \(\displaystyle p=\frac{144}{220}=\frac{36}{55}=0,6\overline{54}\).

Statisztika:

139 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Árvai Balázs, Balbisi Mirjam, Csicsvári Fanni, Édes Lili, Erdélyi Janka, Kocsis Júlia, Mészáros Melinda, Nagy Odett, Nagy Olivér, Németh Csilla Márta, Radó Albert, Surján Anett, Szécsi Adél Lilla, Szilágyi Éva, Szűcs 865 Eszter, Tanács Viktória, Vass Máté.
4 pontot kapott:	Agócs Katinka, Bori Zsuzsanna, Bőzsöny András, Conforti Christian, Cseh Noémi, Galvács Ákos, Komoróczy Ádám, Mocskonyi Mirkó, Tar Viktor, Thuróczy Mylan.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	36 versenyző.
1 pontot kapott:	66 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem versenyszerű:	4 dolgozat.

A KöMaL 2016. szeptemberi matematika feladatai