A C. 1372. feladat (2016. október)

C. 1372. Egy négyzetet szabályos nyolcszöggé alakítunk úgy, hogy a sarkait megfelelő módon levágjuk. A négyzet kerülete és területe közül melyik csökken nagyobb arányban?

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A négyzet oldala legyen \(\displaystyle a=1\), a nyolcszög oldala legyen \(\displaystyle b\).

Az ábra alapján \(\displaystyle b\)-re a következő egyenletet tudjuk felírni:

\(\displaystyle 1-2x=x\sqrt2.\)

Rendezve és gyöktelenítve a nevezőt:

\(\displaystyle x=\frac{1}{2+\sqrt2}=\frac{2-\sqrt2}{2}.\)

A négyzet kerülete \(\displaystyle K_4=4\), területe \(\displaystyle T_4=1\).

A nyolcszög kerülete: \(\displaystyle K_8=8b=8x\sqrt2=4\sqrt2(2-\sqrt2)\).

A nyolcszög területe:

\(\displaystyle T_8=1-2x^2=1-2\left(\frac{2-\sqrt2}{2}\right)^2= 1-\frac{4-4\sqrt2+2}{2}=1-(2-2\sqrt2+1)=2\sqrt2-2.\)

Vizsgáljuk meg a két arányt.

\(\displaystyle \frac{K_8}{K_4} =\frac{4\sqrt2(2-\sqrt2)}{4}=2\sqrt2-2.\)

\(\displaystyle \frac{T_8}{T_4} =\frac{2\sqrt2-2}{1}=2\sqrt2-2.\)

Tehát a négyzet kerülete és területe egyenlő arányban csökken.

Statisztika:

221 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	151 versenyző.
4 pontot kapott:	21 versenyző.
3 pontot kapott:	23 versenyző.
2 pontot kapott:	12 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	8 versenyző.

A KöMaL 2016. októberi matematika feladatai