A C. 1373. feladat (2016. október)

C. 1373. Az \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) pozitív egész számokra teljesül, hogy az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle 1/a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle 1/b\) hosszúságú szakaszokból egy-egy háromszög szerkeszthető. Bizonyítsuk be, hogy mindkét háromszög egyenlő szárú.

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Vizsgáljuk először az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle 1/a\), \(\displaystyle b\) oldalakkal rendelkező háromszöget. Mivel a háromszög az adott oldalakkal megszerkeszthető, ezért igaz rá a háromszög-egyenlőtlenség bármely oldalakra felírva. Először írjuk fel így:

\(\displaystyle a+\frac1a>b.\)

Az \(\displaystyle a>0\) számmal szorozva:

\(\displaystyle a^2+1>ab,\)

\(\displaystyle a^2>ab-1.\)

Másodszor írjuk fel így:

\(\displaystyle b+\frac1a>a.\)

Az \(\displaystyle a>0\) számmal szorozva:

\(\displaystyle ab+1>a^2.\)

A kapott egyenlőtlenségeket egymás után írva:

\(\displaystyle ab+1>a^2>ab-1.\)

Mivel \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) pozitív egész számok, ezért ez csak akkor teljesülhet, ha

\(\displaystyle ab=a^2,\)

\(\displaystyle b=a.\)

Vagyis ez a háromszög egyenlő szárú.

Most vizsgáljuk hasonlóan az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle 1/b\) oldalakkal rendelkező háromszöget. Írjuk fel itt is a háromszög egyenlőtlenséget:

\(\displaystyle b+\frac1b>a.\)

A \(\displaystyle b>0\) számmal szorozva:

\(\displaystyle b^2+1>ab,\)

\(\displaystyle b^2>ab-1.\)

Másodszor így írjuk fel:

\(\displaystyle a+\frac1b>b.\)

A \(\displaystyle b>0\) számmal szorozva:

\(\displaystyle ab+1>b^2.\)

A kapott egyenlőtlenségeket egymás után írva:

\(\displaystyle ab+1>b^2>ab-1.\)

Mivel \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) pozitív egész számok, ezért

\(\displaystyle ab=b^2,\)

\(\displaystyle b=a.\)

Tehát ez a háromszög is egyenlő szárú.

Statisztika:

255 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	191 versenyző.
4 pontot kapott:	17 versenyző.
3 pontot kapott:	25 versenyző.
2 pontot kapott:	11 versenyző.
1 pontot kapott:	7 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2016. októberi matematika feladatai