A C. 1392. feladat (2017. január)

C. 1392. A \(\displaystyle 2017-(2+0+1+7)\) szám osztható a \(\displaystyle (2+20+201)\) számmal, tehát a 2017 rendelkezik a következő tulajdonsággal: ha kivonjuk a számból a számjegyeinek összegét, akkor egy olyan négyjegyű számot kapunk, ami osztható a szám első, első kettő, illetve első három jegye által alkotott egy, két, illetve háromjegyű számok összegével. Hány ilyen tulajdonságú négyjegyű szám létezik?

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a keresett négyjegyű szám \(\displaystyle \overline{abcd}\). Így a feladat állítása:

\(\displaystyle (a+\overline{ab}+\overline{abc})|(\overline{abcd}-(a+b+c+d)).\)

A számokat tízes számrendszerben helyiértékekkel felírva:

\(\displaystyle (a+10a+b+100a+10b+c)|(1000a+100b+10c+d-a-b-c-d),\)

\(\displaystyle (111a+11b+c)|(999a+99b+9c),\)

\(\displaystyle (111a+11b+c)|9(111a+11b+c),\)

ami nyilván igaz.

Tehát az összes négyjegyű számra igaz, hogy a kivonás után kapott számra teljesül az oszthatósági feltétel.

Azt kell még megvizsgálnunk, hogy a kivonás után kapott szám mindig négyjegyű lesz-e.

Kipróbálva az 1000 esetében, láthatjuk, hogy 1000-(1+0+0+0)=999. A különbség háromjegyű és ez így van 1000-től 1009-ig felfelé haladva tíz szám esetében, mert a szám értéke pont annyival nő, amennyivel az egyes helyiértéken álló számjegy értéke. Ha tovább növeljük a számot, akkor a magasabb helyiértékeken megjelenő számjegyek többel növelik a szám értékét, mit a számjegy értéke, így többször nem fog előfordulni, hogy háromjegyű lesz a különbség.

Tehát \(\displaystyle 9000-10=8990\) ilyen tulajdonságú szám létezik.

Statisztika:

163 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ajtai Boglárka, Andó Viola, Barta Ákos, Füredi Erik Benjámin, Gilicze Márton, Háder Márk István, Imre 212 Flóra, Jánosdeák Márk, Kertész Ferenc, Klučka Vivien, Kószó Máté József, Kovács 439 Boldizsár, Kovács 456 Bendeguz, Leskó Eszter Rózsa, Makovsky Mihály, Markó Anna Erzsébet, Markó Gábor, Molnár 410 István, Nagy 184 Nicole, Nagy Csaba Jenő, Pálvölgyi Szilveszter, Pinke Andrea, Sebe Anna, Szeibel Richard, Szepesi Zoltán, Tasi Dániel Vazul, Veibli-Magyari Kristóf, Vida Tamás, Virág Levente, Vitányi Borbála, Weisz Máté, Weisz Viktória.
4 pontot kapott:	84 versenyző.
3 pontot kapott:	36 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2017. januári matematika feladatai