A C. 1396. feladat (2017. január)

C. 1396. Labdarúgó mérkőzések során jegyzőkönyvben rögzítik a mérkőzés állását. Hányféle különböző jegyzőkönyv készülhet, ha a végeredmény \(\displaystyle 3:3\)? Ezeknek hány százalékában fordul elő, hogy valamelyik csapat a mérkőzés során legalább 2 góllal vezetett?

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a két csapat jele B és J és készítsük úgy a jegyzőkönyvet, hogy amelyik csapat gólt rúg, annak a betűjelét írjuk le. Így a jegyzőkönyvek hat betűből álló sorozatok lesznek, melyekben pontosan három B és három J betű szerepel. Ez 6 elem permutációja 3,3 ismétléssel: \(\displaystyle P_6^3=\frac{6!}{3!\cdot3!}=20\).

Tehát 20 féle jegyzőkönyv készülhet.

Ábrázoljuk a lehetséges jegyzőkönyveket egy gráffal. Ha a B csapat nyer, lépjünk balra, ha pedig a J, akkor jobbra (1. ábra). A csúcsok fölé írt számok azt jelentik, hogy hányféleképpen juthatunk abba a csúcsba.

1. ábra

Ha valamelyik csapat a mérkőzések során 2 góllal vezet, az azt jelenti, hogy elő kell fordulni a 2:0, 0:2, 3:0, 0:3, 3:1, 1:3 állások valamelyikének (2. ábra).

2. ábra

Vegyük ki ezeket a gráfból és nézzük meg, hogy ezek nélkül hány eset lehetséges!

8 ilyen eset van, tehát 12 esetben előfordul, hogy egyik csapat legalább két góllal vezet.

Ez az esetek \(\displaystyle \frac{12}{20}\) részében, vagyis \(\displaystyle 60\%\)-ban fordulhat elő.

Statisztika:

253 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	153 versenyző.
4 pontot kapott:	28 versenyző.
3 pontot kapott:	34 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	28 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2017. januári matematika feladatai