A C. 1398. feladat (2017. január)

C. 1398. Egy egyenes körkúpba kockát rajzolunk úgy, hogy annak egyik lapja a kúp alapkörén legyen, maradék négy csúcsa pedig a kúp palástjára essen. Mekkora a kocka felszíne, ha a kúp alapkörének sugara \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\,\), alkotója pedig háromszor ekkora?

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az ábrán látható metszetet úgy kaptuk, hogy a vízszintesen álló kúpot olyan függőleges síkkal metszettük el, amely átmegy a kocka vízszintes lapjainak egy-egy lapátlóján. Használjuk az ábra jelöléseit. A négyzet oldala legyen \(\displaystyle 2x\).

Az adatok alapján felírható, hogy \(\displaystyle PM=r=\frac{\sqrt3}{2}\), \(\displaystyle PR=a=3r\), \(\displaystyle EA=2x\), AM=\(\displaystyle \sqrt2x\).

Felírva a Pitagorasz-tételt a \(\displaystyle PMR\) derékszögű háromszögben, majd behelyettesítve a helyébe \(\displaystyle 3r\)-et, végül a pozitív kifejezésekből gyököt vonva:

\(\displaystyle m^2=a^2-r^2,\)

\(\displaystyle m^2=9r^2-r^2=8r^2,\)

\(\displaystyle m=\sqrt8 r.\)

A \(\displaystyle PMR\) és a \(\displaystyle PAE\) derékszögű háromszögek hasonlóak, így \(\displaystyle \frac{RM}{PM}=\frac{EA}{PA}=\frac{EA}{PM-AM}\).

Itt is behelyettesítve majd rendezve:

\(\displaystyle \frac{m}{r}=\frac{2x}{r-\sqrt2 x},\)

\(\displaystyle \frac{\sqrt8 r}{r}=\frac{2x}{r-\sqrt2 x},\)

\(\displaystyle \sqrt8\cdot(r-\sqrt2 x)=2x,\)

\(\displaystyle \sqrt8 r-4x=2x,\)

\(\displaystyle \sqrt8 r=3\cdot(2x),\)

\(\displaystyle 2x=\frac{\sqrt8}{3} r.\)

A kocka felszíne:

\(\displaystyle A=6\cdot(2x)^2=6\cdot\frac89 r^2=\frac{16}{3}\cdot\frac34=4.\)

Statisztika:

61 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Agócs Katinka, Balbisi Mirjam, Berényi Richárd, Bőzsöny András, Csapó Márton, Dankowsky Anna Zóra, Demeter Bianka Vivien, Édes Lili, Galvács Ákos, Horváth 31 László, Horváth 546 János, Kassai Levente, Kis 999 Alexandra, Kocsis Júlia, Kormányos Hanna Rebeka, Mácz Andrea, Nagy 911 Viktória, Nagy Olivér, Németh Csilla Márta, Pap-Takács Noémi, Pszota Máté, Pusztai Bertalan, Rittgasszer Ákos, Sipos Fanni Emma, Surján Anett, Szabó Dorottya, Szécsi Adél Lilla, Szentistványi István János, Szilágyi Éva, Szűcs 865 Eszter, Takács 666 Réka, Tanács Viktória, Wolff Vilmos, Zsombó István.
4 pontot kapott:	Veres Károly.
3 pontot kapott:	18 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2017. januári matematika feladatai