A C. 1400. feladat (2017. február)

C. 1400. Bizonyítsuk be, hogy ha egy konvex hatszög belső szögei egyenlők, akkor a hatszög bármely két szemközti oldalának különbsége ugyanakkora.

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen \(\displaystyle ABCDEF\) olyan hatszög, melynek minden szöge egyenlő, vagyis \(\displaystyle 120°\)-os. Ekkor a külső szögei \(\displaystyle 60°\)-osak. Így, ha meghúzzuk a \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle DE\) és \(\displaystyle AF\) egyeneseket, akkor ezek metszéspontjai egy szabályos háromszöget határoznak meg. Legyen ez a \(\displaystyle KLM\) háromszög.

Az \(\displaystyle MEF\), \(\displaystyle DLC\) és \(\displaystyle ABK\) háromszögek is szabályosak, hiszen minden szögük 60 fokos. Jelölje ezen háromszögek oldalainak hosszát rendre \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) és \(\displaystyle z\).

Mivel \(\displaystyle KLM\) szabályos, ezért oldalai egyenlő hosszúak:

\(\displaystyle ML=LK=KM,\)

\(\displaystyle ME+ED+DL=LC+CB+BK=KA+AF+FM,\)

\(\displaystyle x+ED+y=y+CB+z=z+AF+x.\)

\(\displaystyle x\) helyére \(\displaystyle EF\)-et, \(\displaystyle y\) helyére \(\displaystyle DC\)-t, \(\displaystyle z\) helyére pedig \(\displaystyle AB\)-t írva:

\(\displaystyle EF+ ED+ DC= DC+CB+ AB= AB+AF+EF.\)

Tehát

\(\displaystyle EF+ ED+ DC= DC+CB+ AB,\)

amiből \(\displaystyle EF+ ED= CB+ AB\) és így \(\displaystyle ED-AB=CB-EF\).

Hasonlóan látható be, hogy \(\displaystyle CB-EF=AF-DC\) és \(\displaystyle ED-AB=AF-DC\).

Statisztika:

114 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	82 versenyző.
4 pontot kapott:	2 versenyző.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	10 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	15 versenyző.

A KöMaL 2017. februári matematika feladatai