A C. 1401. feladat (2017. február)

C. 1401. Az $\displaystyle x$, $\displaystyle y$ pozitív számok kielégítik az $\displaystyle x^3+y^3=x-y$ egyenletet. Igazoljuk, hogy $\displaystyle x^2+y^2<1$.

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Mivel $\displaystyle x$ és $\displaystyle y$ pozitív számok, így

$\displaystyle x^3+y^3=x-y=\frac{(x-y)(x^2+xy+y^2 )}{x^2+xy+y^2}=\frac{x^3-y^3}{x^2+xy+y^2}.$

Átrendezve:

$\displaystyle x^2+xy+y^2=\frac{x^3-y^3}{x^3+y^3}.$

Ebből következik, hogy

$\displaystyle x^2+y^2<x^2+xy+y^2=\frac{x^3-y^3}{x^3+y^3}<1,$

mert a tört számlálója kisebb, mint a nevezője.

Tehát $\displaystyle x^2+y^2<1$.

Statisztika:

119 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	96 versenyző.
4 pontot kapott:	6 versenyző.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2017. februári matematika feladatai