A C. 1405. feladat (2017. február)

C. 1405. Egy zsákban összesen 10 golyó van, ebből 6 piros. A játék a következő: véletlenszerűen kihúzunk négyet a golyók közül, és ha azok között \(\displaystyle k\) db piros van, akkor \(\displaystyle k^2\) forintot kapunk. Mekkora a nyereségünk várható értéke, ha egy játék 1 forintba kerül?

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A zsákban lévő 10 golyó közül 4 golyót véletlenszerűen kiválasztani \(\displaystyle \binom{10}{4}=210\) féleképpen lehet. Ez az összes esetek száma.

Ha \(\displaystyle k=0\) pirosat és 4 másikat választunk, ezt \(\displaystyle \binom60\cdot\binom44=1\) féleképpen tehetjük meg. Nyereményünk ekkor \(\displaystyle k^2=0\) Ft.

Ha \(\displaystyle k=1\) pirosat és 3 másikat választunk, ezt \(\displaystyle \binom61\cdot\binom43=24\) féleképpen tehetjük meg. Nyereményünk ekkor \(\displaystyle k^2=1\) Ft.

Ha \(\displaystyle k=2\) pirosat és 2 másikat választunk, ezt \(\displaystyle \binom62\cdot\binom42=90\) féleképpen tehetjük meg. Nyereményünk ekkor \(\displaystyle k^2=4\) Ft.

Ha \(\displaystyle k=3\) pirosat és 1 másikat választunk, ezt \(\displaystyle \binom63\cdot\binom41=80\) féleképpen tehetjük meg. Nyereményünk ekkor \(\displaystyle k^2=9\) Ft.

Ha \(\displaystyle k=4\) pirosat választunk, ezt \(\displaystyle \binom64\cdot\binom40=15\) féleképpen tehetjük meg. Nyereményünk ekkor \(\displaystyle k^2=16\) Ft.

Nyereményünk várható értéke:

\(\displaystyle \frac{1\cdot0+24\cdot1+90\cdot4+80\cdot9+15\cdot16}{210}\mathrm{~~~ Ft}=6,4 \mathrm{~Ft}.\)

Mivel egy játék 1 Ft-ba kerül, így nyereségünk várható értéke 5,4 Ft.

Statisztika:

79 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Agócs Katinka, Balbisi Mirjam, Dankowsky Anna Zóra, Demeter Bianka Vivien, Demeter Gergő, Dézsi Viktória, Édes Lili, Horváth 546 János, Jámbor Lili, János Zsuzsa Anna, Kertész 79 Attila, Kis 999 Alexandra, Kocsis Ábel, Kormányos Hanna Rebeka, Kovács 526 Tamás, Nagy Olivér, Németh Csilla Márta, Paréj Balázs, Perecz Gergely Tardos, Pszota Máté, Rittgasszer Ákos, Surján Anett, Szabadfalvi Dániel, Szabó Alexandra, Szalay Gergő, Szécsi Adél Lilla, Szőnyi Laura, Szűcs 865 Eszter, Tanács Viktória, Tatai Mihály, Thuróczy Mylan, Török Boldizsár, Tulipán Levente, Varga 274 Tamás, Zsombó István.
4 pontot kapott:	18 versenyző.
3 pontot kapott:	5 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	11 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.

A KöMaL 2017. februári matematika feladatai