A C. 1409. feladat (2017. március)

C. 1409. A vén platánfa henger alakú törzse 2 m kerületű. A fatörzs egyik oldalán egy csiga mászik felfelé a fa tengelyének síkjában, és már csak 3 cm hiányzik, hogy elérje a 2 méteres magasságot. Egy másik csiga épp elkezdene felfelé mászni a vele átellenes oldalon, amikor felfedezik egymást. Ekkor a két csiga a lehető legrövidebb úton egymás felé közeledve elindul. Mekkora távolságot tesznek meg a találkozásig, ha egyenlő sebességgel haladnak?

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Terítsük ki a fa henger alakú törzsét síkba 2 méteres magasságig. Mivel a kerület is 2 m, így az $\displaystyle ABCD$ négyzetet kapjuk.

Az egyik csiga legyen az $\displaystyle AB$ alap $\displaystyle F$ felezőpontjában, ekkor a másik csiga a $\displaystyle BC$ oldalon $\displaystyle C$-től 3 cm-re, $\displaystyle B$-től pedig 197 cm-re lévő $\displaystyle G$ pontjában van. A köztük lévő legrövidebb távolság az $\displaystyle FBG$ derékszögű háromszög $\displaystyle FG$ átfogójának hossza. $\displaystyle FB=100$ cm, $\displaystyle BG=197$ cm, így

$\displaystyle FG=\sqrt{FB^2+BG^2}=\sqrt{100^2+197^2}≈220,93 \mathrm{~cm}.$

Mivel a csigák egyenlő sebességgel haladnak, így mindkettő $\displaystyle s=\frac{FG}{2}≈110,46$ cm-t tesz a találkozásig (a csigák méretét elhanyagoljuk).

Statisztika:

188 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	142 versenyző.
4 pontot kapott:	27 versenyző.
3 pontot kapott:	6 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	8 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2017. márciusi matematika feladatai