A C. 1410. feladat (2017. március)

C. 1410. Legyen \(\displaystyle b=\sqrt{a+\sqrt a}\), ahol \(\displaystyle a\) pozitív egész szám. Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle b\) nem lehet egész szám.

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Indirekt bizonyítás: Tegyük fel, hogy \(\displaystyle b\) egész szám. Mivel \(\displaystyle a>0\), így \(\displaystyle b>0\) is teljesül. Emeljük az egyenlet mindkét oldalát négyzetre: \(\displaystyle b^2=a+\sqrt a\). Mivel \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b^2\) egész számok, így \(\displaystyle \sqrt a\)-nak is egésznek kell lennie, vagyis \(\displaystyle a\) négyzetszám. Legyen \(\displaystyle \sqrt a=c\), ahol \(\displaystyle c>0\), így \(\displaystyle a=c^2\).

Ezeket beírva az egyenletünkbe: \(\displaystyle b^2=c^2+c\). Látszik, hogy \(\displaystyle c^2<b^2\), viszont \(\displaystyle b^2=c^2+c<c^2+2c+1=(c+1)^2\). Mivel \(\displaystyle c^2\) és \(\displaystyle (c+1)^2\) között nincs négyzetszám, ezért ellentmondásra jutottunk.

Tehát \(\displaystyle b\) nem lehet egész szám.

Dobák Dániel (Budapest V. Kerületi Eötvös József Gimnázium, 10. évf.) dolgozata alapján

Statisztika:

171 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	101 versenyző.
4 pontot kapott:	24 versenyző.
3 pontot kapott:	10 versenyző.
2 pontot kapott:	12 versenyző.
1 pontot kapott:	11 versenyző.
0 pontot kapott:	12 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2017. márciusi matematika feladatai