A C. 1414. feladat (2017. április)

C. 1414. Az egységnyi oldalú $\displaystyle ABCD$ négyzet $\displaystyle CD$ oldalának harmadoló pontjai legyenek $\displaystyle E$ és $\displaystyle F$. A $\displaystyle BE$ és $\displaystyle BF$ egyenesek az $\displaystyle AC$ átlót $\displaystyle K$ és $\displaystyle L$ pontokban metszik. Határozzuk meg a $\displaystyle KL$ szakasz hosszának pontos értékét.

Matlap (Kolozsvár)

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. május 10-én LEJÁRT.

1. megoldás. Legyen a négyzet oldalhossza $\displaystyle 3b$ és $\displaystyle O$ a négyzet átlóinak metszéspontja. Ekkor $\displaystyle CE=EF=FD=b$. Alkalmazzuk Menelaosz tételét a $\displaystyle BDE$ háromszögben az $\displaystyle OK$ szelőre:

$\displaystyle \frac{OB}{OD}\cdot\frac{KE}{KB}\cdot\frac{CD}{CE}=1.$

Mivel $\displaystyle OB=OD$, $\displaystyle CD=3CE$, így $\displaystyle \frac{KE}{KB}=\frac13$, tehát a $\displaystyle K$ pont a $\displaystyle BE$ szakasz $\displaystyle E$-hez közelebbi negyedelő pontja, vagyis $\displaystyle KB=\frac34 BE$.

A $\displaystyle BCE$ derékszögű háromszögből $\displaystyle BE=\sqrt{9b^2+b^2}=b\sqrt{10}$, így $\displaystyle KB=\frac{3b\sqrt{10}}{4}$.

Hasonlóan a $\displaystyle BDF$ háromszögben az $\displaystyle OL$ szelőre alkalmazva Menelaosz tételét: $\displaystyle \frac{LF}{LB}=\frac23$, tehát az $\displaystyle L$ pont $\displaystyle 2:3$ arányban osztja a $\displaystyle BF$ szakaszt, így $\displaystyle LB=\frac{3BF}{5}$.

A $\displaystyle BCF$ derékszögű háromszögből: $\displaystyle BF=\sqrt{9b^2+4b^2}=b\sqrt{13}$, tehát $\displaystyle LB=\frac{3b\sqrt{13}}{5}$.

Legyen $\displaystyle α=KBL∡$, ekkor a $\displaystyle BEF$ háromszögben a koszinusztételt alkalmazva:

$\displaystyle EF^2=BE^2+BF^2-2\cdot BE\cdot BF\cdot \cos α,$

$\displaystyle \cos α=\frac{BE^2+BF^2-EF^2}{2\cdot BE\cdot BF}=\frac{10b^2+13b^2-b^2}{2b^2 \sqrt{130}}=\frac{11}{\sqrt{130}}.$

Ezután alkalmazzuk a koszinusztételt a $\displaystyle BKL$ háromszögben:

$\displaystyle KL^2=KB^2+LB^2-2\cdot KB\cdot LB\cdot\cos α,$

$\displaystyle KL^2=\frac{90b^2}{16}+\frac{117b^2}{25}-2\cdot \frac{3b\sqrt{10}}{4}\cdot\frac{3b\sqrt{13}}{5}\cdot \frac{11}{\sqrt{130}}.$

Ebből $\displaystyle KL=\frac{9b\sqrt2}{20}$ adódik, és mivel $\displaystyle 3b=1$, így $\displaystyle KL=\frac{3\sqrt2}{20}$.

2. megoldás. Helyezzük a négyzetet koordináta rendszerbe úgy, hogy a csúcsok koordinátái $\displaystyle A(0;0)$, $\displaystyle B(1;0)$, $\displaystyle C(1;1)$ és $\displaystyle D(0;1)$ legyenek és használjuk a 2. ábra jelöléseit.

2. ábra

A $\displaystyle HDF$ és $\displaystyle HAB$ háromszögek hasonlóságából: $\displaystyle \frac{HD}{1/3}=\frac{HD+1}{1}$, amiből $\displaystyle HD=\frac12$, így $\displaystyle H\left(0; \frac32\right)$.

A $\displaystyle GDE$ és $\displaystyle GAB$ háromszögek hasonlóságából: $\displaystyle \frac{GD}{2/3}=\frac{GD+1}{1}$, amiből $\displaystyle GD=2$, így $\displaystyle G(0;3)$.

A $\displaystyle HB$ egyenes meredeksége $\displaystyle m=-\frac32$ és az $\displaystyle y$ tengelyt a $\displaystyle \frac32$-nél metszi, így egyenlete: $\displaystyle y=-\frac32 x+\frac32$.

A $\displaystyle GB$ egyenes meredeksége $\displaystyle m=-3$ és az $\displaystyle y$ tengelyt a 3-nál metszi, így egyenlete: $\displaystyle y=-3x+3$.

Az $\displaystyle AC$ egyenes egyenlete: $\displaystyle y=x$.

A $\displaystyle K$ pont az $\displaystyle AC$ és $\displaystyle GB$ egyenesek metszéspontja:

$\displaystyle y=x,$

$\displaystyle y=-3x+3,$

amiből $\displaystyle K\left(\frac34;\frac34\right)$ adódik.

Az $\displaystyle L$ pont az $\displaystyle AC$ és $\displaystyle HB$ egyenesek metszéspontja:

$\displaystyle y=x,$

$\displaystyle y=-\frac32 x+\frac32,$

amiből $\displaystyle L\left(\frac35;\frac35\right)$ adódik. Tehát

$\displaystyle KL=\sqrt{\left(\frac34-\frac35\right)^2+\left(\frac34-\frac35\right)^2}=\left(\frac34-\frac35\right)\sqrt2=\frac{3\sqrt2}{20}.$

Statisztika:

88 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	68 versenyző.
4 pontot kapott:	7 versenyző.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.

A KöMaL 2017. áprilisi matematika feladatai