A C. 1414. feladat (2017. április)

C. 1414. Az egységnyi oldalú \(\displaystyle ABCD\) négyzet \(\displaystyle CD\) oldalának harmadoló pontjai legyenek \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\). A \(\displaystyle BE\) és \(\displaystyle BF\) egyenesek az \(\displaystyle AC\) átlót \(\displaystyle K\) és \(\displaystyle L\) pontokban metszik. Határozzuk meg a \(\displaystyle KL\) szakasz hosszának pontos értékét.

Matlap (Kolozsvár)

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. május 10-én LEJÁRT.

1. megoldás. Legyen a négyzet oldalhossza \(\displaystyle 3b\) és \(\displaystyle O\) a négyzet átlóinak metszéspontja. Ekkor \(\displaystyle CE=EF=FD=b\). Alkalmazzuk Menelaosz tételét a \(\displaystyle BDE\) háromszögben az \(\displaystyle OK\) szelőre:

\(\displaystyle \frac{OB}{OD}\cdot\frac{KE}{KB}\cdot\frac{CD}{CE}=1.\)

Mivel \(\displaystyle OB=OD\), \(\displaystyle CD=3CE\), így \(\displaystyle \frac{KE}{KB}=\frac13\), tehát a \(\displaystyle K\) pont a \(\displaystyle BE\) szakasz \(\displaystyle E\)-hez közelebbi negyedelő pontja, vagyis \(\displaystyle KB=\frac34 BE\).

A \(\displaystyle BCE\) derékszögű háromszögből \(\displaystyle BE=\sqrt{9b^2+b^2}=b\sqrt{10}\), így \(\displaystyle KB=\frac{3b\sqrt{10}}{4}\).

Hasonlóan a \(\displaystyle BDF\) háromszögben az \(\displaystyle OL\) szelőre alkalmazva Menelaosz tételét: \(\displaystyle \frac{LF}{LB}=\frac23\), tehát az \(\displaystyle L\) pont \(\displaystyle 2:3\) arányban osztja a \(\displaystyle BF\) szakaszt, így \(\displaystyle LB=\frac{3BF}{5}\).

A \(\displaystyle BCF\) derékszögű háromszögből: \(\displaystyle BF=\sqrt{9b^2+4b^2}=b\sqrt{13}\), tehát \(\displaystyle LB=\frac{3b\sqrt{13}}{5}\).

Legyen \(\displaystyle α=KBL∡\), ekkor a \(\displaystyle BEF\) háromszögben a koszinusztételt alkalmazva:

\(\displaystyle EF^2=BE^2+BF^2-2\cdot BE\cdot BF\cdot \cos α,\)

\(\displaystyle \cos α=\frac{BE^2+BF^2-EF^2}{2\cdot BE\cdot BF}=\frac{10b^2+13b^2-b^2}{2b^2 \sqrt{130}}=\frac{11}{\sqrt{130}}.\)

Ezután alkalmazzuk a koszinusztételt a \(\displaystyle BKL\) háromszögben:

\(\displaystyle KL^2=KB^2+LB^2-2\cdot KB\cdot LB\cdot\cos α,\)

\(\displaystyle KL^2=\frac{90b^2}{16}+\frac{117b^2}{25}-2\cdot \frac{3b\sqrt{10}}{4}\cdot\frac{3b\sqrt{13}}{5}\cdot \frac{11}{\sqrt{130}}.\)

Ebből \(\displaystyle KL=\frac{9b\sqrt2}{20}\) adódik, és mivel \(\displaystyle 3b=1\), így \(\displaystyle KL=\frac{3\sqrt2}{20}\).

2. megoldás. Helyezzük a négyzetet koordináta rendszerbe úgy, hogy a csúcsok koordinátái \(\displaystyle A(0;0)\), \(\displaystyle B(1;0)\), \(\displaystyle C(1;1)\) és \(\displaystyle D(0;1)\) legyenek és használjuk a 2. ábra jelöléseit.

2. ábra

A \(\displaystyle HDF\) és \(\displaystyle HAB\) háromszögek hasonlóságából: \(\displaystyle \frac{HD}{1/3}=\frac{HD+1}{1}\), amiből \(\displaystyle HD=\frac12\), így \(\displaystyle H\left(0; \frac32\right)\).

A \(\displaystyle GDE\) és \(\displaystyle GAB\) háromszögek hasonlóságából: \(\displaystyle \frac{GD}{2/3}=\frac{GD+1}{1}\), amiből \(\displaystyle GD=2\), így \(\displaystyle G(0;3)\).

A \(\displaystyle HB\) egyenes meredeksége \(\displaystyle m=-\frac32\) és az \(\displaystyle y\) tengelyt a \(\displaystyle \frac32\)-nél metszi, így egyenlete: \(\displaystyle y=-\frac32 x+\frac32\).

A \(\displaystyle GB\) egyenes meredeksége \(\displaystyle m=-3\) és az \(\displaystyle y\) tengelyt a 3-nál metszi, így egyenlete: \(\displaystyle y=-3x+3\).

Az \(\displaystyle AC\) egyenes egyenlete: \(\displaystyle y=x\).

A \(\displaystyle K\) pont az \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle GB\) egyenesek metszéspontja:

\(\displaystyle y=x,\)

\(\displaystyle y=-3x+3,\)

amiből \(\displaystyle K\left(\frac34;\frac34\right)\) adódik.

Az \(\displaystyle L\) pont az \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle HB\) egyenesek metszéspontja:

\(\displaystyle y=x,\)

\(\displaystyle y=-\frac32 x+\frac32,\)

amiből \(\displaystyle L\left(\frac35;\frac35\right)\) adódik. Tehát

\(\displaystyle KL=\sqrt{\left(\frac34-\frac35\right)^2+\left(\frac34-\frac35\right)^2}=\left(\frac34-\frac35\right)\sqrt2=\frac{3\sqrt2}{20}.\)

Statisztika:

88 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	68 versenyző.
4 pontot kapott:	7 versenyző.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.

A KöMaL 2017. áprilisi matematika feladatai