A C. 1419. feladat (2017. április)

C. 1419. Az $\displaystyle ABC$ hegyesszögű háromszögben tekintsük azt a két körcikket, melyek végpontjai $\displaystyle A$ és $\displaystyle B$, továbbá az egyik körcikk ívének egy pontja az $\displaystyle A$-ból induló magasság talppontja, a másik ívének egy pontja az $\displaystyle ABC$ magasságpontja. Bizonyítsuk be, hogy ha $\displaystyle ACB\sphericalangle=45^\circ$, akkor a két körcikk területe megegyezik.

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit.

Az $\displaystyle A$ pontból induló magasság talppontja legyen $\displaystyle D$. Ekkor $\displaystyle ADB∡=90°$, így a feladatban szereplő egyik körcikk az $\displaystyle AB=c$ oldal fölé emelt félkör.

Területe: $\displaystyle T_1=\frac12\cdot π\cdot\left(\frac c2\right)^2=\frac{c^2}{8} π$.

A másik, $\displaystyle OAB$ körcikket, melynek íve átmegy a háromszög $\displaystyle M$ magasságpontján, tükrözzük az $\displaystyle AB$ oldal egyenesére. Tudjuk, hogy az $\displaystyle M$ magasságpont $\displaystyle M_1$ tükörképe rajta van a háromszög körülírt körén, így az $\displaystyle O$ pont tükörképe $\displaystyle O_1$, a háromszög körülírt körének középpontja. Mivel az $\displaystyle ACB∡=45°$ kerületi szög a körben, a hozzá tartozó középponti szög $\displaystyle AO_1 B∡=90°$. Az $\displaystyle AO_1 B$ egyenlő szárú derékszögű háromszög átfogója $\displaystyle AB=c$, így a befogói $\displaystyle AO_1=BO_1=r=\frac{c}{\sqrt2}$.

Ezért a körcikk területe: $\displaystyle T_2=\frac14\cdot π\cdot\left(\frac{c}{\sqrt2}\right)^2=\frac{c^2}{8} π$.

Tehát a két körcikk területe megegyezik.

Statisztika:

20 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Agócs Katinka, Édes Lili, Kocsis Júlia, Magyar 257 Boglárka, Nagy Olivér, Németh Csilla Márta, Perényi Gellért, Rittgasszer Ákos, Surján Anett, Szalay Gergő, Szilágyi Botond, Szilágyi Éva, Szőnyi Laura, Tanács Viktória, Tatai Mihály, Török Boldizsár, Wolff Vilmos, Zsombó István.
4 pontot kapott:	Kovács 526 Tamás.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2017. áprilisi matematika feladatai