A C. 1429. feladat (2017. szeptember)

C. 1429. Egy $\displaystyle 5\mathrm{~cm}\times8\mathrm{~cm}$ méretű téglalapban elhelyeztünk tíz pontot. Bizonyítsuk be, hogy van két olyan pont, amelyek távolsága nem nagyobb $\displaystyle \sqrt{10}$ cm-nél.

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Osszuk fel a téglalapot oldalaival párhuzamos egyenesekkel 9 egybevágó kisebb téglalapra, melyek oldalai $\displaystyle \frac53$ és $\displaystyle \frac83$ cm. A nagy téglalapban elhelyezett 10 pont közül, a skatulya elv alapján, 2 pontnak ugyanabba a kis téglalapba kell esnie. Ennek a két pontnak a távolsága legfeljebb a kis téglalap átlója lehet:

$\displaystyle d≤\sqrt{\left(\frac53\right)^2+\left(\frac83\right)^2}=\frac{\sqrt{89}}{3}<\frac{\sqrt{90}}{3}=\sqrt{10}.$

Ezzel beláttuk, hogy a 10 pont közül van két olyan pont, melyek távolsága kisebb, mint $\displaystyle \sqrt{10}$.

Statisztika:

277 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	129 versenyző.
4 pontot kapott:	31 versenyző.
3 pontot kapott:	21 versenyző.
2 pontot kapott:	36 versenyző.
1 pontot kapott:	41 versenyző.
0 pontot kapott:	19 versenyző.

A KöMaL 2017. szeptemberi matematika feladatai