A C. 1431. feladat (2017. szeptember)

C. 1431. Egy trapéz rövidebb alapjának, egyik, majd másik szárának, végül hosszabbik alapjának hossza ebben a sorrendben egy számtani sorozat egymást követő tagjai. Mekkora a sorozat differenciája, ha a legrövidebb oldal 3 cm, és a hosszabbik alapon fekvő egyik szög 60 fok?

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az 1. megoldáshoz lényegében csak a Pitagorasz-tétel ismeretére van szükség, a 2. megoldás használja a koszinusz-tételt.

1. megoldás. Első esetben legyen az alap és a rövidebbik szár szöge $\displaystyle 60°$. Használjuk az 1. ábra jelöléseit. Legyen a sorozat differenciája $\displaystyle d>0$, $\displaystyle BC=3,\, AB=3+d,\, CD=3+2d,\, AD=3+3d,\, BE=CF=m$.

1. ábra

Az $\displaystyle ABE$ derékszögű háromszögben az A csúcsnál lévő szög $\displaystyle 60°$, ezért $\displaystyle AE=\frac{3+d}{2}$.

A $\displaystyle BEFC$ téglalapban $\displaystyle EF=BC=3$. $\displaystyle FD=AD-AE-EF$, vagyis $\displaystyle FD=3+3d-\frac{3+d}{2}-3=\frac{5d-3}{2}$.

Írjuk fel a Pitagorasz-tételt az $\displaystyle ABE$ és $\displaystyle CDF$ derékszögű háromszögekre:

$\displaystyle m^2=(3+d)^2-\left(\frac{3+d}{2}\right)^2,$

$\displaystyle m^2=(3+2d)^2-\left(\frac{5d-3}{2}\right)^2.$

A jobb oldalak egyenlőségéből a zárójelek felbontása és rendezés után kapjuk, hogy $\displaystyle d=5$. Ekkor a trapéz oldalai: 3, 8, 13 és 18.

A második esetben legyen az alap és a hosszabbik szár szöge $\displaystyle 60°$. Használjuk a 2. ábra jelöléseit. Legyen a sorozat differenciája $\displaystyle d>0$, $\displaystyle BC=3,\, AB=3+d,\, CD=3+2d,\, AD=3+3d,\, BE=CF=m$.

2. ábra

Az $\displaystyle CDF$ derékszögű háromszögben az $\displaystyle D$ csúcsnál lévő szög $\displaystyle 60°$, ezért $\displaystyle FD=\frac{3+2d}{2}$.

$\displaystyle AE=AD-EF-FD$, $\displaystyle AE=3+3d-3-\frac{3+2d}{2}=\frac{4d-3}{2}$.

Írjuk fel a Pitagorasz-tételt az $\displaystyle ABE$ és $\displaystyle CDF$ derékszögű háromszögekre:

$\displaystyle m^2=(3+d)^2-\left(\frac{4d-3}{2}\right)^2,$

$\displaystyle m^2=(3+2d)^2-\left(\frac{3+2d}{2}\right)^2.$

A jobb oldalak egyenlőségéből a zárójelek felbontása és rendezés után kapjuk, hogy $\displaystyle d=0,5$. Így a trapéz oldalai: 3, 3,5, 4 és 4,5.

Ekkor azonban $\displaystyle AE=AD-EF-FD=4,5-3-2=-0,5$. Ez úgy lehetséges, hogy a trapéz $\displaystyle A$ csúcsánál tompaszög van és az $\displaystyle A$ pont az $\displaystyle EF$ szakasz belsejébe esik (3. ábra).

3. ábra

2. megoldás. Húzzunk párhuzamost a rövidebbik szárral a rövidebb oldal másik végpontjában. Így egy paralelogramma és egy háromszög keletkezik.

1. eset: a 60 fokos szög a rövidebbik szárnál van.

A háromszög 60 fokos oldalával szemközti élre (ami a trapéz hosszabbik szára) felírva a koszinusz-tételt:

$\displaystyle (3+2d)^2=(3+d)^2+(3d)^2-2\cdot(3+d)\cdot3d\cdot\cos60^{\circ},$

$\displaystyle 9+4d^2+12d=9+d^2+6d+9d^2-9d-3d^2,$

$\displaystyle 0=3d^2-15d=3d(d-5).$

Tehát ekkor $\displaystyle d=5$.

2. eset: a 60 fokos szög a hosszabbik szárnál van.

A háromszög 60 fokos oldalával szemközti élre (aminek hossza a trapéz rövidebbik szárának hosszával egyezik meg) felírva a koszinusz-tételt:

$\displaystyle (3+d)^2=(3+2d)^2+(3d)^2-2\cdot(3+2d)\cdot(3d)\cdot\cos60^{\circ},$

$\displaystyle 9+d^2+6d=9+4d^2+12d+9d^2-9d-6d^2,$

$\displaystyle 0=6d^2-3d=3d(2d-1).$

Ekkor $\displaystyle d=0,5$.

Statisztika:

214 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	81 versenyző.
4 pontot kapott:	31 versenyző.
3 pontot kapott:	46 versenyző.
2 pontot kapott:	16 versenyző.
1 pontot kapott:	24 versenyző.
0 pontot kapott:	16 versenyző.

A KöMaL 2017. szeptemberi matematika feladatai