 |
A C. 1432. feladat (2017. szeptember) |
C. 1432. Mutassuk meg, hogy bármely \(\displaystyle n\) természetes szám esetén található olyan \(\displaystyle 2^n\)-nel osztható \(\displaystyle n\)-jegyű szám, amelynek számjegyei kizárólag 1-esből és 2-esből állnak.
(5 pont)
A beküldési határidő 2017. október 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Ha \(\displaystyle n=1\), akkor \(\displaystyle 2^n=2^1=2\) és a \(\displaystyle 2\) lesz a megfelelő egyjegyű szám. Ha \(\displaystyle n=2\), akkor \(\displaystyle 2^n=2^2=4\) és a \(\displaystyle 12\) lesz az a keresett kétjegyű szám, ami osztható \(\displaystyle 4\)-gyel. Tovább vizsgálódva a következő számokat kapjuk:
| \(\displaystyle n\) | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| \(\displaystyle 2^n\) | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 |
| \(\displaystyle n\)-jegyű szám | 112 | 2112 | 22112 | 122112 | 2122112 |
Azt sejtjük, hogy egy megfelelő \(\displaystyle n\)-jegyű szám elé írva 1-est vagy 2-est egy megfelelő (\(\displaystyle n+1\))-jegyű számot kapunk: ha \(\displaystyle 2^n|x\), akkor \(\displaystyle 2^{n+1}|10^n+x\) vagy \(\displaystyle 2^{n+1}|2\cdot10^n+x\). Mivel \(\displaystyle 10^n+x=2^n\left(5^n+\frac{x}{2^n}\right)\), ezért ha \(\displaystyle \frac{x}{2^n}\) páratlan, akkor \(\displaystyle 5^n\)-t hozzáadva páros számot kapunk, vagyis a zárójeles rész is páros, és a szorzat osztható \(\displaystyle 2^{n+1}\)-nel. Hasonlóan, \(\displaystyle 2\cdot10^n+x=2^n\left(2\cdot5^n+\frac{x}{2^n}\right)\), ezért ha \(\displaystyle \frac{x}{2^n}\) páros, akkor \(\displaystyle 2\cdot5^n\)-t hozzáadva páros számot kapunk. Ekkor a zárójeles rész is páros, és a szorzat itt is osztható \(\displaystyle 2^{n+1}\)-nel.
Statisztika:
61 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Agócs Katinka, Ajtai Boglárka, Balog 518 Lóránd, Bíró Dániel, Bukor Benedek, Deák Péter, Dékány Barnabás, Havlik Miklós, Horváth Dávid, Jankovits András, Julinek István, Kiszelovics Dorina, Mészáros 916 Márton, Molnár 410 István, Németh Csilla Márta, Porkoláb Mercédesz, Rittgasszer Ákos, Spányik Teodor, Surján Anett, Szántó Julianna, Szécsi Adél Lilla, Szepessy Luca, Szőnyi Laura, Tóth Imre. 4 pontot kapott: Gémes Mirjam, Hegedűs András, Kovács 526 Tamás, Kozma Balázs, Mészáros Melinda, Nagy 999 Benedek, Nyitrai Boglárka, Paksi Barnabás, Ruzsa Kata, Sal Dávid, Szász Kristóf, Tóth 529 Petra, Varga 274 Tamás, Wolff Vilmos, Zsemberi Dániel. 3 pontot kapott: 6 versenyző. 2 pontot kapott: 6 versenyző. 1 pontot kapott: 7 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző.
A KöMaL 2017. szeptemberi matematika feladatai