A C. 1434. feladat (2017. október)

C. 1434. Egy Münchenben megrendezett futóversenyen a versenyzők egyszerre rajtoltak és kijelölt pályán haladtak. A rajt után 30 perccel, a rajtvonalról utánuk indult egy elfogó autó, állandó sebességgel. Egy versenyző számára akkor ért véget a verseny, ha az elfogó autó utolérte. A női győztest 68 km-nél érte utol az autó, a férfi győztest pedig 1 óra 36 perccel később 92 km-nél. Milyen sebességgel haladt a két győztes futó és az elfogó autó, ha feltételezzük, hogy a futók sebessége is végig állandó volt?

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás Legyen a női győztes futóideje órában megadva \(\displaystyle t_N\), a férfi győztesé \(\displaystyle t_F\), átlagos sebességük pedig km/h mértékegységet használva \(\displaystyle v_N\) és \(\displaystyle v_F\), az elfogó autó sebessége pedig \(\displaystyle v\). Ekkor a következő összefüggéseket tudjuk felírni:

I. \(\displaystyle v_N\cdot t_N=68\),

II. \(\displaystyle v_F\cdot t_F=92\),

III. \(\displaystyle (t_N-0,5)\cdot v=68\),

IV. \(\displaystyle (t_F-0,5)\cdot v=92\),

V. \(\displaystyle t_F-t_N=1,6\).

A III. és IV. egyenletben a zárójelet felbontva és a IV.-ből a III.-at kivonva:

\(\displaystyle t_N\cdot v-0,5v=68,\)

\(\displaystyle t_F\cdot v-0,5v=92,\)

\(\displaystyle (t_F-t_N )\cdot v=24.\)

Az V. egyenletet felhasználva:

\(\displaystyle 1,6\cdot v=24.\)

Vagyis \(\displaystyle v=\frac{24}{1,6}=15\) km/h sebességgel haladt az elfogó autó.

Ezt visszahelyettesítve a III. és IV egyenletbe:

A női győztes ideje: \(\displaystyle t_N=\frac{68}{v}+0,5=\frac{68}{15}+\frac{15}{30}=\frac{151}{30}=5 \frac{1}{30}\) óra= \(\displaystyle 5\) óra \(\displaystyle 2\) perc.

A férfi győztes ideje: \(\displaystyle t_F=\frac{92}{v}+0,5=\frac{92}{15}+\frac{15}{30}=\frac{199}{30}=6 \frac{19}{30}\) óra= \(\displaystyle 6\) óra \(\displaystyle 38\) perc.

Az I. és II. egyenletekből a sebességek:

A női győztes sebessége: \(\displaystyle v_N=\frac{68}{t_N} =68\cdot\frac{30}{151}\approx 13,51\) km/h.

A férfi győztes sebessége: \(\displaystyle v_F=\frac{92}{t_F} =92\cdot\frac{30}{199}≈13,87\) km/h.

Statisztika:

220 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	174 versenyző.
4 pontot kapott:	6 versenyző.
3 pontot kapott:	9 versenyző.
2 pontot kapott:	9 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	16 versenyző.

A KöMaL 2017. októberi matematika feladatai