A C. 1438. feladat (2017. október)

C. 1438. Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle x^2+y^3=z^4\) egyenletnek nincs megoldása az \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\), \(\displaystyle z\) prímszámok körében.

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Mivel két páratlan szám összege és különbsége is páros, és csak egy páros prímszám van, így az egyik váltózó értéke 2.

Átrendezve az egyenletet és a jobb oldalt szorzattá alakítva:

\(\displaystyle y^3=z^4-x^2,\)

\(\displaystyle y^3=(z^2+x)(z^2-x).\)

Feltételezve, hogy \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle z\) prímszámok, akkor a jobb oldalon két különböző egész szám szorzata áll, így \(\displaystyle y\) csak úgy lehet prímszám, ha \(\displaystyle z^2+x=y^2\) és \(\displaystyle z^2-x=y\), vagy \(\displaystyle z^2+x=y^3\) és \(\displaystyle z^2-x=1\).

Az első esetben \(\displaystyle x=y^2-z^2=(y-z)(y+z)\), így \(\displaystyle x\) csak akkor lehet prímszám, ha \(\displaystyle y-z=1\). Ekkor \(\displaystyle z=2\) és \(\displaystyle y=3\), amiből \(\displaystyle x=5\) adódik. Ezek az értékek viszont nem megoldásai az eredeti egyenletnek.

A második esetben \(\displaystyle z^2=x+1\), amiből \(\displaystyle y^3=2x+1\).

Láthatóan \(\displaystyle y\) páratlan szám, valamint \(\displaystyle x\) nem lehet 2, mert \(\displaystyle x+1=3\) nem négyzetszám. Tehát csak \(\displaystyle z\) lehet 2. \(\displaystyle z=2\) esetén \(\displaystyle 2^2=x+1\), tehát \(\displaystyle x=3\), ekkor \(\displaystyle y^3=2\cdot3+1=7\) lenne, tehát \(\displaystyle y\) nem lehet egész szám.

Ezért az egyenletnek nincs megoldása a prímszámok körében.

Statisztika:

215 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	80 versenyző.
4 pontot kapott:	35 versenyző.
3 pontot kapott:	32 versenyző.
2 pontot kapott:	28 versenyző.
1 pontot kapott:	19 versenyző.
0 pontot kapott:	17 versenyző.
Nem versenyszerű:	4 dolgozat.

A KöMaL 2017. októberi matematika feladatai