Problem C. 1442. (November 2017)

C. 1442. The sides \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) and \(\displaystyle c\) of a triangle satisfy

\(\displaystyle 1=\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}. \)

Prove that \(\displaystyle r\cdot R=\frac 12\), where \(\displaystyle r\) is the inradius and \(\displaystyle R\) is the circumradius.

Proposed by Zs. M. Tatár, Felsőgöd

(5 pont)

Deadline expired on December 11, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az adott összefüggést jobb oldalon közös nevezőre hozva és átrendezve:

\(\displaystyle 1=\frac{c+a+b}{abc},\)

\(\displaystyle abc=a+b+c.\)

Használjuk az 1. ábra jelöléseit. Az \(\displaystyle AFO\) derékszögű háromszögben \(\displaystyle \frac c2=R\cdot\sin γ\), vagyis \(\displaystyle \sin γ=\frac{c}{2R}\). Ezt behelyettesítve a háromszög területképletébe:

\(\displaystyle T=\frac{ab\cdot\sin γ}{2}=\frac{abc}{4R}.\)

1. ábra

A háromszög beírt körének középpontját a csúcsokkal összekötve három részháromszöget kapunk (2. ábra). Ezek területének összege a háromszög területe:

\(\displaystyle T=\frac{ar}{2}+\frac{br}{2}+\frac{cr}{2}=\frac{r(a+b+c)}{2}.\)

2. ábra

A két területképletből:

\(\displaystyle \frac{abc}{4R}=\frac{r(a+b+c)}{2}.\)

Felhasználva az adott összefüggésből kapott egyenlőséget leoszthatunk \(\displaystyle abc=a+b+c\neq0\)-val: \(\displaystyle \frac{1}{4R}=\frac r2\), vagyis \(\displaystyle rR=\frac12\).

Statistics:

127 students sent a solution.
5 points:	118 students.
4 points:	1 student.
3 points:	3 students.
1 point:	1 student.
0 point:	4 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2017