A C. 1451. feladat (2017. december)

C. 1451. Hol metszi az $\displaystyle x$ tengelyt az $\displaystyle y=x|x|-2x+3$ egyenletű görbe? Hol, milyen és mekkora lokális szélsőértékei vannak?

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Bontsuk két részre az $\displaystyle y=x|x|-2x+3$ függvényt az $\displaystyle x$ előjelétől függően:

Ha $\displaystyle x≥0$, akkor $\displaystyle |x|=x$ és $\displaystyle y=x^2-2x+3=(x-1)^2+2$.

Ha $\displaystyle x<0$, akkor $\displaystyle |x|=-x$ és $\displaystyle y=-x^2-2x+3=-(x+1)^2+4$.

$\displaystyle x≥0$ esetén a függvény nem metszi az $\displaystyle x$ tengelyt, mivel $\displaystyle (x-1)^2+2>0$.

$\displaystyle x<0$ esetén $\displaystyle -(x+1)^2+4=0$ negatív megoldása $\displaystyle x=-3$, ez a zérushely.

$\displaystyle x≥0$ esetén az $\displaystyle y=(x-1)^2+2$ függvénynek akkor van minimuma, ha $\displaystyle x-1=0$, tehát a lokális minimum helye $\displaystyle x=1$, értéke $\displaystyle y=2$.

$\displaystyle x<0$ esetén az $\displaystyle y=-(x+1)^2+4$ függvénynek akkor van maximuma, ha $\displaystyle x+1=0$, tehát a lokális maximum helye $\displaystyle x=-1$, értéke $\displaystyle y=4$.

Statisztika:

225 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	114 versenyző.
4 pontot kapott:	43 versenyző.
3 pontot kapott:	15 versenyző.
2 pontot kapott:	29 versenyző.
1 pontot kapott:	13 versenyző.
0 pontot kapott:	7 versenyző.
Nem versenyszerű:	4 dolgozat.

A KöMaL 2017. decemberi matematika feladatai