A C. 1451. feladat (2017. december)

C. 1451. Hol metszi az \(\displaystyle x\) tengelyt az \(\displaystyle y=x|x|-2x+3\) egyenletű görbe? Hol, milyen és mekkora lokális szélsőértékei vannak?

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Bontsuk két részre az \(\displaystyle y=x|x|-2x+3\) függvényt az \(\displaystyle x\) előjelétől függően:

Ha \(\displaystyle x≥0\), akkor \(\displaystyle |x|=x\) és \(\displaystyle y=x^2-2x+3=(x-1)^2+2\).

Ha \(\displaystyle x<0\), akkor \(\displaystyle |x|=-x\) és \(\displaystyle y=-x^2-2x+3=-(x+1)^2+4\).

\(\displaystyle x≥0\) esetén a függvény nem metszi az \(\displaystyle x\) tengelyt, mivel \(\displaystyle (x-1)^2+2>0\).

\(\displaystyle x<0\) esetén \(\displaystyle -(x+1)^2+4=0\) negatív megoldása \(\displaystyle x=-3\), ez a zérushely.

\(\displaystyle x≥0\) esetén az \(\displaystyle y=(x-1)^2+2\) függvénynek akkor van minimuma, ha \(\displaystyle x-1=0\), tehát a lokális minimum helye \(\displaystyle x=1\), értéke \(\displaystyle y=2\).

\(\displaystyle x<0\) esetén az \(\displaystyle y=-(x+1)^2+4\) függvénynek akkor van maximuma, ha \(\displaystyle x+1=0\), tehát a lokális maximum helye \(\displaystyle x=-1\), értéke \(\displaystyle y=4\).

Statisztika:

225 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	114 versenyző.
4 pontot kapott:	43 versenyző.
3 pontot kapott:	15 versenyző.
2 pontot kapott:	29 versenyző.
1 pontot kapott:	13 versenyző.
0 pontot kapott:	7 versenyző.
Nem versenyszerű:	4 dolgozat.

A KöMaL 2017. decemberi matematika feladatai