A C. 1452. feladat (2017. december)

C. 1452. Egy 13 cm sugarú körbe írható trapézról tudjuk, hogy átlói a kör középpontjától 5 cm-re helyezkednek el. Legfeljebb mekkora lehet a trapéz területe?

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit. A kör sugara \(\displaystyle r=13\) cm, az átlók távolsága a kör középpontjától \(\displaystyle OF=OG=d=5\) cm.

A trapéz átlói a körben húrok. A húr felező merőlegese átmegy a középponton. Legyen a \(\displaystyle BD\) átló felezőpontja az \(\displaystyle F\) pont. A Pitagorasz-tételt használva a \(\displaystyle BFO\) derékszögű háromszögben:

\(\displaystyle BF=\sqrt{r^2-d^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12 \mathrm{~cm}.\)

\(\displaystyle AC= BD=2BF=24 \mathrm{~cm}.\)

A trapéz területe:

\(\displaystyle T=\frac12\cdot AC\cdot BD\cdot \sinγ=\frac 12\cdot 24\cdot24\cdot\sinγ=288\cdot\sinγ.\)

Ez akkor maximális, ha \(\displaystyle \sinγ=1\), vagyis \(\displaystyle γ=90°\). Ekkor \(\displaystyle T_{max}=288 \mathrm{~cm}^2\).

Statisztika:

102 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	63 versenyző.
4 pontot kapott:	1 versenyző.
3 pontot kapott:	10 versenyző.
2 pontot kapott:	12 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.
Nem versenyszerű:	4 dolgozat.

A KöMaL 2017. decemberi matematika feladatai