A C. 1456. feladat (2018. január)

C. 1456. Bizonyítsuk be, hogy nincs olyan négyzetszám, amely felírható \(\displaystyle {3^a+9^b+1}\) alakban (\(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) pozitív egész számok).

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. február 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Tegyük fel, hogy létezik ilyen négyzetszám. Ekkor \(\displaystyle n^2=3^a+9^b+1\), ahol \(\displaystyle n\) pozitív egész szám. A jobb oldal páratlan, így \(\displaystyle n\) is páratlan szám. Vegyünk el \(\displaystyle 1\)-et mindkét oldalból és a bal oldalt alakítsuk szorzattá: \(\displaystyle (n-1)(n+1)=3^a+9^b\).

A bal oldalon két egymás utáni páros szám szorzata áll, ezért az egyik \(\displaystyle 2\)-vel, a másik \(\displaystyle 4\)-gyel biztosan osztható, így szorzatuk osztható \(\displaystyle 8\)-cal.

\(\displaystyle 9^b=(8+1)^b=8^b+b\cdot8^{b-1}+⋯+b\cdot8+1.\)

A jobb oldalon az utolsó tag kivételével mindegyikben van \(\displaystyle 8\)-es szorzó, így \(\displaystyle 9^b\) \(\displaystyle 8\)-cal osztva \(\displaystyle 1\)-et ad maradékul.

Ha \(\displaystyle a\) páros szám, akkor \(\displaystyle a=2k\). Ekkor \(\displaystyle 3^a=3^{2k}=9^k\), tehát \(\displaystyle 3^a\) nyolcas maradéka is \(\displaystyle 1\).

Ha \(\displaystyle a\) páratlan szám, akkor \(\displaystyle a=2k+1\). Ekkor \(\displaystyle 3^a=3^{2k+1}=3\cdot9^k\). Ekkor \(\displaystyle 3^a\) nyolcas maradéka \(\displaystyle 3\).

Ez azt jelenti, hogy \(\displaystyle 3^a+9^b\) \(\displaystyle 8\)-as maradéka páros \(\displaystyle a\) esetén \(\displaystyle 2\), páratlan \(\displaystyle a\) esetén \(\displaystyle 4\), vagyis nem osztható \(\displaystyle 8\)-cal, tehát nem létezik ilyen négyzetszám.

Statisztika:

55 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Andó Viola, Balázs Réka, Biró 424 Ádám, Csonka Illés, Csóti Kristóf, Falvay Júlia, Fodor Marcel, Fonyi Máté Sándor, Forczek Bianka, Gém Viktória, Harmath Eszter, Hordós Adél Zita, Ill Ninetta, Kerekes Boldizsár, Kis 194 Károly, Kiss 014 Dávid, Koleszár Domonkos, Kovács 157 Zita, Kovács Fruzsina Dóra, Kozma Kristóf, Markó Gábor, Mendei Barna, Pásti Bence, Rátki Luca, Shuborno Das, Szendrei Botond, Tóth Lilla Eszter , Trombitás Hanna Lívia, Werner András, Williams Hajna.
4 pontot kapott:	Szente Péter.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	10 versenyző.
0 pontot kapott:	12 versenyző.

A KöMaL 2018. januári matematika feladatai