A C. 1459. feladat (2018. január)

C. 1459. Tükrözzük az $\displaystyle y=x^2$ egyenletű normál parabolát az $\displaystyle F\left(0;\frac 14\right)$ pontra. Mekkora szögben metszi egymást a két parabola?

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. február 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Az $\displaystyle y=x^2$ parabolát a $\displaystyle \left(0;\frac14\right)$ pontra tükrözve az $\displaystyle y=-x^2+\frac12$ parabolát kapjuk.

A metszéspontok $\displaystyle x$ koordinátáit az $\displaystyle x^2=-x^2+\frac12$ egyenletből kapjuk. Rendezve: $\displaystyle x^2=\frac14$, amiből $\displaystyle x_1=\frac12$, $\displaystyle x_2=-\frac12$. Így a metszéspontok koordinátái: $\displaystyle M\left(\frac12;\frac14\right)$ és $\displaystyle N\left(-\frac12;\frac14\right)$.

Ha meghatározzuk az $\displaystyle M$ pontban az $\displaystyle y=x^2$ parabola érintőjének $\displaystyle φ$ irányszögét, akkor a szimmetria miatt az érintők által bezárt szög az $\displaystyle M$ és $\displaystyle N$ pontban is $\displaystyle 2φ$ lesz.

Legyen a keresett érintő egyenlete: $\displaystyle y=mx+b$. Mivel átmegy az $\displaystyle M\left(\frac12;\frac14\right)$ ponton, ezért egyenlete $\displaystyle \frac14=\frac12 m+b$, amiből $\displaystyle b=-\frac12 m+\frac14$. Ezt visszahelyettesítve:

$\displaystyle y=mx-\frac12 m+\frac14.$

Ha ez érintője az $\displaystyle y=x^2$ parabolának, akkor az $\displaystyle x^2=mx-\frac12 m+\frac14$ másodfokú egyenletnek csak egy megoldása van. Rendezve: $\displaystyle x^2- mx+\frac12 m-\frac14=0$. Pontosan akkor van egy megoldása, ha a diszkrimináns értéke nulla: $\displaystyle D=m^2-2m+1=0$, vagyis $\displaystyle (m-1)^2=0$. Tehát az érintő meredeksége $\displaystyle m=1$.

$\displaystyle \tgφ=1$, vagyis az irányszög $\displaystyle φ=45°$. Az érintők által, vagyis a két parabola által bezárt szög $\displaystyle 2φ=90°$.

Statisztika:

126 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	62 versenyző.
4 pontot kapott:	11 versenyző.
3 pontot kapott:	7 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	7 versenyző.
0 pontot kapott:	32 versenyző.

A KöMaL 2018. januári matematika feladatai