A C. 1469. feladat (2018. március)

C. 1469. Az $\displaystyle ABC$ háromszög $\displaystyle C$ csúcsából induló magasság talppontja $\displaystyle T$ (az $\displaystyle AB$ oldal belső pontja), $\displaystyle R$ pedig a szögfelezőé: $\displaystyle AB=10$, $\displaystyle AT=3$, $\displaystyle AR=4$. Határozzuk meg a háromszög oldalainak a hosszát.

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit. $\displaystyle AB=10$, $\displaystyle AR=4$, $\displaystyle AT=3$, ezért $\displaystyle RB=6$, $\displaystyle TR=1$ és $\displaystyle TB=7$. A szögfelező a szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában metszi, ezért $\displaystyle \frac ab=\frac64=\frac32$. Tehát $\displaystyle a=\frac32 b$.

Írjuk fel a Pitagorasz-tételt az $\displaystyle ATC$ és $\displaystyle BTC$ derékszögű háromszögekre:

$\displaystyle m^2+3^2=b^2,$

$\displaystyle m^2+7^2=a^2.$

Vonjuk ki az alsó egyenletből a felsőt és helyettesítsünk be $\displaystyle a$ helyére $\displaystyle \frac32 b$-t:

$\displaystyle 49-9=a^2-b^2,$

$\displaystyle 40=\frac94 b^2-b^2=\frac54 b^2,$

$\displaystyle b^2=32,$

$\displaystyle b=4\sqrt2,$

$\displaystyle a=\frac32 b=6\sqrt2.$

Tehát a háromszög keresett oldalai: $\displaystyle a=6\sqrt2(≈8,4853)$, $\displaystyle b=4\sqrt2(≈5,6569)$.

Statisztika:

106 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	82 versenyző.
4 pontot kapott:	8 versenyző.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.

A KöMaL 2018. márciusi matematika feladatai