A C. 1469. feladat (2018. március)

C. 1469. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle C\) csúcsából induló magasság talppontja \(\displaystyle T\) (az \(\displaystyle AB\) oldal belső pontja), \(\displaystyle R\) pedig a szögfelezőé: \(\displaystyle AB=10\), \(\displaystyle AT=3\), \(\displaystyle AR=4\). Határozzuk meg a háromszög oldalainak a hosszát.

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit. \(\displaystyle AB=10\), \(\displaystyle AR=4\), \(\displaystyle AT=3\), ezért \(\displaystyle RB=6\), \(\displaystyle TR=1\) és \(\displaystyle TB=7\). A szögfelező a szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában metszi, ezért \(\displaystyle \frac ab=\frac64=\frac32\). Tehát \(\displaystyle a=\frac32 b\).

Írjuk fel a Pitagorasz-tételt az \(\displaystyle ATC\) és \(\displaystyle BTC\) derékszögű háromszögekre:

\(\displaystyle m^2+3^2=b^2,\)

\(\displaystyle m^2+7^2=a^2.\)

Vonjuk ki az alsó egyenletből a felsőt és helyettesítsünk be \(\displaystyle a\) helyére \(\displaystyle \frac32 b\)-t:

\(\displaystyle 49-9=a^2-b^2,\)

\(\displaystyle 40=\frac94 b^2-b^2=\frac54 b^2,\)

\(\displaystyle b^2=32,\)

\(\displaystyle b=4\sqrt2,\)

\(\displaystyle a=\frac32 b=6\sqrt2.\)

Tehát a háromszög keresett oldalai: \(\displaystyle a=6\sqrt2(≈8,4853)\), \(\displaystyle b=4\sqrt2(≈5,6569)\).

Statisztika:

106 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	82 versenyző.
4 pontot kapott:	8 versenyző.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.

A KöMaL 2018. márciusi matematika feladatai