A C. 1471. feladat (2018. március)

C. 1471. Igazoljuk, hogy minden négynél nagyobb kettő-hatvány felírható két páratlan négyzetszám különbségeként. Például \(\displaystyle 32=81-49\).

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az állítás: \(\displaystyle 2^k=a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), ahol \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) páratlan számok. Mivel \(\displaystyle (a-b)\) és \(\displaystyle (a+b)\) szorzata kettő-hatvány, ezért \(\displaystyle (a-b)\) és \(\displaystyle (a+b)\) is kettő hatványai.

Legyen \(\displaystyle a-b=2\), vagyis \(\displaystyle a=b+2\). Ekkor

\(\displaystyle 2^k=2(2b+2),\)

\(\displaystyle 2^{k-1}=2b+2,\)

\(\displaystyle b=\frac{2^{k-1}-2}{2}=2^{k-2}-1,\)

\(\displaystyle a=b+2=2^{k-2}+1.\)

Tehát bármely \(\displaystyle k>2\) egész számra, vagyis \(\displaystyle 2^k>4\) esetén \(\displaystyle a=2^{k-2}+1\) és \(\displaystyle b=2^{k-2}-1\) olyan páratlan számok, melyekre

\(\displaystyle a^2-b^2=(2^{k-2}+1)^2-(2^{k-2}-1)^2=\)

\(\displaystyle 2^{2k-4}+2\cdot2^{k-2}+1-2^{2k-4}+2\cdot2^{k-2}-1=4\cdot2^{k-2}=2^k.\)

Statisztika:

138 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	76 versenyző.
4 pontot kapott:	12 versenyző.
3 pontot kapott:	13 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	11 versenyző.
0 pontot kapott:	12 versenyző.
Nem versenyszerű:	10 dolgozat.

A KöMaL 2018. márciusi matematika feladatai