A C. 1471. feladat (2018. március)

C. 1471. Igazoljuk, hogy minden négynél nagyobb kettő-hatvány felírható két páratlan négyzetszám különbségeként. Például $\displaystyle 32=81-49$.

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az állítás: $\displaystyle 2^k=a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, ahol $\displaystyle a$ és $\displaystyle b$ páratlan számok. Mivel $\displaystyle (a-b)$ és $\displaystyle (a+b)$ szorzata kettő-hatvány, ezért $\displaystyle (a-b)$ és $\displaystyle (a+b)$ is kettő hatványai.

Legyen $\displaystyle a-b=2$, vagyis $\displaystyle a=b+2$. Ekkor

$\displaystyle 2^k=2(2b+2),$

$\displaystyle 2^{k-1}=2b+2,$

$\displaystyle b=\frac{2^{k-1}-2}{2}=2^{k-2}-1,$

$\displaystyle a=b+2=2^{k-2}+1.$

Tehát bármely $\displaystyle k>2$ egész számra, vagyis $\displaystyle 2^k>4$ esetén $\displaystyle a=2^{k-2}+1$ és $\displaystyle b=2^{k-2}-1$ olyan páratlan számok, melyekre

$\displaystyle a^2-b^2=(2^{k-2}+1)^2-(2^{k-2}-1)^2=$

$\displaystyle 2^{2k-4}+2\cdot2^{k-2}+1-2^{2k-4}+2\cdot2^{k-2}-1=4\cdot2^{k-2}=2^k.$

Statisztika:

138 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	76 versenyző.
4 pontot kapott:	12 versenyző.
3 pontot kapott:	13 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	11 versenyző.
0 pontot kapott:	12 versenyző.
Nem versenyszerű:	10 dolgozat.

A KöMaL 2018. márciusi matematika feladatai