A C. 1476. feladat (2018. április)

C. 1476. Igazoljuk, hogy az

\(\displaystyle \frac{{(y-6)}^2}{3xy}+x\cdot \frac{y+3}{y}\ge 4+x-\frac{4}{x}-\frac{xy}{12} \)

egyenlőtlenség minden pozitív \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) valós számpárra teljesül.

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Tudjuk, hogy \(\displaystyle x,y>0\). Szorozzuk meg az egyenlőtlenség mindkét oldalát \(\displaystyle 12xy\)-nal. Ekkor

\(\displaystyle 4(y-6)^2+12x^2 (y+3)≥48xy+12x^2 y-48y-x^2 y^2.\)

Bal oldalon elvégezve a műveleteket, majd balra rendezve:

\(\displaystyle 4y^2-48y+144+12x^2 y+36x^2≥48xy+12x^2 y-48y-x^2 y^2,\)

\(\displaystyle 4y^2+144+36x^2-48xy+x^2 y^2≥0.\)

Teljes négyzeteket alakítunk ki:

\(\displaystyle 4y^2-24xy+36x^2+x^2 y^2-24xy+144≥0,\)

\(\displaystyle (2y-6x)^2+(xy-12)^2≥0.\)

Két szám négyzetének összege nem lehet negatív. Mivel minden lépés megfordítható, ezért az állítás igaz.

Statisztika:

82 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	62 versenyző.
4 pontot kapott:	5 versenyző.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2018. áprilisi matematika feladatai