A C. 1477. feladat (2018. április)

C. 1477. Bizonyítsuk be, hogy ha az \(\displaystyle ABCD\) trapéz \(\displaystyle AD\) alapján van olyan \(\displaystyle E\) pont, amelyre az \(\displaystyle ABE\), \(\displaystyle BCE\) és \(\displaystyle CDE\) háromszögek kerülete egyenlő, akkor \(\displaystyle BC=\frac12 AD\).

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit.

Húzzuk meg a trapéz magasságát a \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle E\) pontokban. Tudjuk, hogy az \(\displaystyle ABE\) és \(\displaystyle BCE\) háromszögek kerülete egyenlő. \(\displaystyle BE\) oldaluk közös, \(\displaystyle BH=EF\), mert a \(\displaystyle BHEF\) téglalap szemközti oldalai. Ezért a kerületek csak akkor lehetnek egyelők, ha \(\displaystyle b+f=e+h\).

Az \(\displaystyle ABF\) és \(\displaystyle CHE\) derékszögű háromszögekben felírva Pitagorasz-tételét:

\(\displaystyle b^2-f^2=(b-f)(b+f)=m^2 \mathrm{~és~} e^2-h^2=(e-h)(e+h)=m^2.\)

Ebből látszik, hogy \(\displaystyle b-f=e-h\) is igaz, amiből \(\displaystyle b=e\) és így \(\displaystyle f=h\) következik. Ezért \(\displaystyle ABE\) és \(\displaystyle BCE\) egybevágó háromszögek, mert mindhárom oldaluk egyenlő.

Hasonlóan balátható, hogy \(\displaystyle CDE\) és \(\displaystyle BCE\) is egybevágó háromszögek. Így \(\displaystyle BC=AE=ED\), tehát \(\displaystyle BC=\frac12 (AE+ED)=\frac12 AD\).

Statisztika:

53 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ács Imre, Al-Hag Máté Amin, Czett Mátyás, Görcs András, Hordós Adél Zita, Imre Tamás, Kovács 157 Zita, Markó Gábor, Shuborno Das, Szalontai Kinga Sára.
4 pontot kapott:	Biró 424 Ádám, Fonyi Máté Sándor, Gém Viktória, Imreh Júlia, Kis 194 Károly, Lukács Emma, Rusvai Miklós, Szőke Péter, Williams Hajna.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	14 versenyző.
0 pontot kapott:	13 versenyző.

A KöMaL 2018. áprilisi matematika feladatai