A C. 1477. feladat (2018. április)

C. 1477. Bizonyítsuk be, hogy ha az $\displaystyle ABCD$ trapéz $\displaystyle AD$ alapján van olyan $\displaystyle E$ pont, amelyre az $\displaystyle ABE$, $\displaystyle BCE$ és $\displaystyle CDE$ háromszögek kerülete egyenlő, akkor $\displaystyle BC=\frac12 AD$.

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit.

Húzzuk meg a trapéz magasságát a $\displaystyle B$, $\displaystyle C$ és $\displaystyle E$ pontokban. Tudjuk, hogy az $\displaystyle ABE$ és $\displaystyle BCE$ háromszögek kerülete egyenlő. $\displaystyle BE$ oldaluk közös, $\displaystyle BH=EF$, mert a $\displaystyle BHEF$ téglalap szemközti oldalai. Ezért a kerületek csak akkor lehetnek egyelők, ha $\displaystyle b+f=e+h$.

Az $\displaystyle ABF$ és $\displaystyle CHE$ derékszögű háromszögekben felírva Pitagorasz-tételét:

$\displaystyle b^2-f^2=(b-f)(b+f)=m^2 \mathrm{~és~} e^2-h^2=(e-h)(e+h)=m^2.$

Ebből látszik, hogy $\displaystyle b-f=e-h$ is igaz, amiből $\displaystyle b=e$ és így $\displaystyle f=h$ következik. Ezért $\displaystyle ABE$ és $\displaystyle BCE$ egybevágó háromszögek, mert mindhárom oldaluk egyenlő.

Hasonlóan balátható, hogy $\displaystyle CDE$ és $\displaystyle BCE$ is egybevágó háromszögek. Így $\displaystyle BC=AE=ED$, tehát $\displaystyle BC=\frac12 (AE+ED)=\frac12 AD$.

Statisztika:

53 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ács Imre, Al-Hag Máté Amin, Czett Mátyás, Görcs András, Hordós Adél Zita, Imre Tamás, Kovács 157 Zita, Markó Gábor, Shuborno Das, Szalontai Kinga Sára.
4 pontot kapott:	Biró 424 Ádám, Fonyi Máté Sándor, Gém Viktória, Imreh Júlia, Kis 194 Károly, Lukács Emma, Rusvai Miklós, Szőke Péter, Williams Hajna.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	14 versenyző.
0 pontot kapott:	13 versenyző.

A KöMaL 2018. áprilisi matematika feladatai