A C. 1480. feladat (2018. április)

C. 1480. Oldjuk meg az

$\displaystyle \frac{x^3-7x+6}{x-2}=\frac{2x+14}{x+2}$

egyenletet az egész számok halmazán.

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A nevezők miatt $\displaystyle x≠2$ és $\displaystyle x≠-2$. Alakítsuk szorzattá a harmadfokú kifejezést:

$\displaystyle x^3-7x+6=x^3-2x^2+2x^2-4x-3x+6=(x-2)(x^2+2x-3)= (x-2)(x+3)(x-1).$

Így az egyenletünk

$\displaystyle \frac{(x-2)(x+3)(x-1)}{x-2}=\frac{2x+4+10}{x+2}.$

Bal oldalon $\displaystyle (x-2)\neq=0$-val egyszerűsítve, jobb oldalon $\displaystyle (x+2)\neq=0$-val tagonként leosztva:

$\displaystyle (x+3)(x-1)=2+\frac{10}{x+2}.$

A bal oldal egész, így a jobb oldal, és ezért $\displaystyle \frac{10}{x+2}$ is az. Tehát $\displaystyle z=x+2$ lehetséges értékei $\displaystyle 10$ osztói: $\displaystyle -10$, $\displaystyle -5$, $\displaystyle -2$, $\displaystyle -1$, $\displaystyle 1$, $\displaystyle 2$, $\displaystyle 5$, $\displaystyle 10$.

$\displaystyle (z+1)(z-3)=2+\frac{10}{z}$

Az egyenletnek nincs megoldása az egész számok halmazán.

Statisztika:

134 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	59 versenyző.
4 pontot kapott:	22 versenyző.
3 pontot kapott:	20 versenyző.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	13 versenyző.
0 pontot kapott:	10 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2018. áprilisi matematika feladatai