A C. 1481. feladat (2018. április)

C. 1481. Egy $\displaystyle 2$ sugarú körbe írt szabályos nyolcszög csúcsait három különböző módon kötjük össze az ábra szerint: minden szomszédos, minden másodszomszédos, majd minden harmadszomszédos csúcsot. Igazoljuk, hogy a három beírt kör sugarának szorzata $\displaystyle 2$.

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Használjuk az 1. ábra jelöléseit. Az $\displaystyle OAF$ derékszögű háromszögben

$\displaystyle α=\frac{AOB∡}{2}=\frac{45°}{2}=22,5°,$

$\displaystyle r_1=2\cdot\cos22,5°.$

1. ábra

A 2. ábrán jól látható, hogy

$\displaystyle r_3=\frac{AB}{2}=AF=2\cdot\sin22,5°.$

2. ábra

A 3. ábra alapján az $\displaystyle OCM$ derékszögű, egyenlő szárú háromszögben

$\displaystyle r_2=\frac{2}{\sqrt2}=\sqrt2.$

3. ábra

A három sugár szorzata:

$\displaystyle r_1\cdot r_2\cdot r_3=2\sqrt2\cdot 2\cos22,5°\cdot \sin22,5°=2\sqrt2\sin45°=\frac{2\sqrt2}{\sqrt2}=2.$

Megjegyzés. A pontlevonások szinte mindegyike hiányos indoklásból adódott. Jellemzően a szögek nagyságát nem indokolták egyes versenyzők, de olyanok is voltak, akik közelítő értékkel számoltak, számolási hibát vétettek, vagy a képleten túl semmilyen indoklást nem nyújtottak.

Statisztika:

31 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Agócs Katinka, Ajtai Boglárka, Bukor Benedek, Dobay Ádám, Jankovits András, Magyar 257 Boglárka, Molnár 410 István, Németh Csilla Márta, Spányik Teodor, Surján Anett, Szécsi Adél Lilla.
4 pontot kapott:	Almási Adél Csilla, Debreczeni Tibor, Dékány Barnabás, Gálffy Veronika, Kis-Tóth Janka, Kiszelovics Dorina, Kovács 161 Márton Soma, Nyitrai Boglárka, Paksi Barnabás, Rittgasszer Ákos, Sal Dávid, Szőnyi Laura, Vlaszov Artúr.
3 pontot kapott:	6 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2018. áprilisi matematika feladatai