A C. 1486. feladat (2018. május)

C. 1486. Adott az $\displaystyle ABC$ szabályos háromszög és a $\displaystyle k$ kör, melyeknek közös középpontja az $\displaystyle O$ pont, területük pedig egyaránt $\displaystyle \sqrt{\frac{\pi}{\sqrt{27}}}$. Legyenek az $\displaystyle AO$, $\displaystyle BO$, $\displaystyle CO$ szakaszok meghosszabításainak a $\displaystyle k$ körrel való metszéspontjai rendre az $\displaystyle A'$, $\displaystyle B'$, $\displaystyle C'$ pontok. Adjuk meg az $\displaystyle AC'BA'CB'$ hatszög területének pontos értékét.

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. június 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit.

$\displaystyle T_{kör}=T_Δ=\sqrt{\frac{π}{\sqrt{27}}}=r^2 π=\frac{a^2 \sqrt3}{4},$

amiből

$\displaystyle r=a\sqrt{\frac{\sqrt3}{4π}}.$

Felhasználva, hogy $\displaystyle M=a \frac{\sqrt3}{2}$, a felsőből

$\displaystyle a^2=\frac{4}{\sqrt3}\cdot\sqrt{\frac{π}{\sqrt{27}}}= \sqrt{\frac{16π}{9\sqrt3}}.$

$\displaystyle m=r-\frac M3=a\cdot\left(\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{4π}}-\frac{\sqrt3}{6}\right),$

$\displaystyle T_{ABC'}=\frac{am}{2}=\frac{a^2}{2} \left(\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{4π}}-\frac{\sqrt3}{6}\right)=$

$\displaystyle =\sqrt{\frac{4π}{9\sqrt3}}\left(\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{4π}}-\frac{\sqrt3}{6}\right)=$

$\displaystyle =\frac13-\frac13\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{\frac{4π}{9\sqrt3}},$

$\displaystyle T_{ABC'}=\frac13-\frac13\sqrt{\frac{4π\cdot3}{4\cdot9\sqrt3}}=\frac13-\frac13\cdot\sqrt{\frac{π}{\sqrt{27}}},$

$\displaystyle T_{AB'CA'BC'}=T_Δ+3\cdot T_{ABC'}=$

$\displaystyle \sqrt{\frac{π}{\sqrt{27}}}+3\left(\frac13-\frac13\cdot\sqrt{\frac{π}{\sqrt{27}}}\right)=1.$

Statisztika:

75 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Agócs Katinka, Ajtai Boglárka, Almási Adél Csilla, Bérczi Péter, Biró 424 Ádám, Böcskei Bálint Attila, Bukor Benedek, Csóti Balázs , Csóti Kristóf, Debreczeni Tibor, Dékány Barnabás, Demcsák Ágnes, Fodor Marcel, Fonyi Máté Sándor, Forgács Kata, Gárdonyi Csilla Dóra, Gém Viktória, Hordós Adél Zita, Jankovits András, Kalabay László, Kis 194 Károly, Koleszár Domonkos, Kovács 157 Zita, Kovács 161 Márton Soma, Markó Gábor, Molnár 410 István, Németh Csilla Márta, Pinke Andrea, Rusvai Miklós, Shuborno Das, Surján Anett, Szécsi Adél Lilla, Székelyhidi Klára, Szőnyi Laura, Tóth 529 Petra, Tóth Imre, Trombitás Karolina Sarolta, Vlaszov Artúr, Williams Hajna.
4 pontot kapott:	Andó Viola, Debreczeni Dorina, Földvári Ádám, Nagy 202 Eszter , Nyitrai Boglárka, Pszota Máté, Rittgasszer Ákos, Spányik Teodor, Szajkó Szilvia, Szőke Péter, Varga 928 Péter.
3 pontot kapott:	12 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	4 dolgozat.

A KöMaL 2018. májusi matematika feladatai