Problem C. 1488. (May 2018)
C. 1488. Given that any three line segments out of a set of five can be used as sides to construct a (non-degenerate) triangle, prove that at least one of the triangles obtained in this way is acute-angled.
(5 pont)
Deadline expired on June 11, 2018.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Legyenek a szakaszok: \(\displaystyle a≤b≤c≤d≤e\).
Tegyük fel, hogy semelyik három szakaszokból nem szerkeszthető hegyesszögű háromszög, legfeljebb derékszögű. Ekkor
\(\displaystyle a^2+b^2≤c^2,\)
\(\displaystyle b^2+c^2≤d^2,\)
\(\displaystyle a^2+d^2≤e^2.\)
Ekkor \(\displaystyle a^2+(b^2+c^2)\leq a^2+d^2≤e^2\) és \(\displaystyle a^2+b^2+a^2+b^2\leq a^2+b^2+c^2≤e^2\), vagyis
\(\displaystyle 2(a^2+b^2 )≤e^2.\)
Nézzük meg mekkora lenne az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) szakaszok \(\displaystyle φ\) szöge, ha az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle e\) szakaszokból háromszöget szerkesztenénk! Használjuk a koszinusz tételt:
\(\displaystyle \cos φ=\frac{a^2+b^2-e^2}{2ab}\leq\frac{a^2+b^2-2(a^2+b^2)}{2ab}≤\frac{-(a^2+b^2)}{2ab}.\)
Ha \(\displaystyle \frac{-(a^2+b^2)}{2ab}≤-1\), vagyis \(\displaystyle \frac{a^2+b^2}{2ab}≥1\), akkor az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle e\) szakaszokból nem szerkeszthető háromszög. Szorozzunk \(\displaystyle 2ab>0\)-val:
\(\displaystyle a^2+b^2≥2ab,\)
\(\displaystyle a^2+2ab+b^2≥4ab,\)
\(\displaystyle (a+b)^2≥4ab,\)
\(\displaystyle \frac{a+b}{2}≥\sqrt{ab}.\)
Ez igaz, vagyis az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle e\) szakaszokból nem szerkeszthető háromszög. Ellentmondásra jutottunk, tehát az öt szakasz között biztosan van három olyan, amiből szerkeszthető hegyesszögű háromszög.
Statistics:
20 students sent a solution. 5 points: Agócs Katinka, Ajtai Boglárka, Bukor Benedek, Debreczeni Tibor, Dékány Barnabás, Kovács 526 Tamás, Molnár 410 István, Németh Csilla Márta, Spányik Teodor, Surján Anett, Szécsi Adél Lilla, Szőnyi Laura. 3 points: 2 students. 2 points: 3 students. 1 point: 3 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, May 2018