A C. 1488. feladat (2018. május)

C. 1488. Öt szakaszról tudjuk, hogy bármelyik háromból mint oldalakból valódi háromszög szerkeszthető. Bizonyítsuk be, hogy az így kapott háromszögek közül legalább az egyik hegyesszögű.

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. június 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyenek a szakaszok: \(\displaystyle a≤b≤c≤d≤e\).

Tegyük fel, hogy semelyik három szakaszokból nem szerkeszthető hegyesszögű háromszög, legfeljebb derékszögű. Ekkor

\(\displaystyle a^2+b^2≤c^2,\)

\(\displaystyle b^2+c^2≤d^2,\)

\(\displaystyle a^2+d^2≤e^2.\)

Ekkor \(\displaystyle a^2+(b^2+c^2)\leq a^2+d^2≤e^2\) és \(\displaystyle a^2+b^2+a^2+b^2\leq a^2+b^2+c^2≤e^2\), vagyis

\(\displaystyle 2(a^2+b^2 )≤e^2.\)

Nézzük meg mekkora lenne az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) szakaszok \(\displaystyle φ\) szöge, ha az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle e\) szakaszokból háromszöget szerkesztenénk! Használjuk a koszinusz tételt:

\(\displaystyle \cos φ=\frac{a^2+b^2-e^2}{2ab}\leq\frac{a^2+b^2-2(a^2+b^2)}{2ab}≤\frac{-(a^2+b^2)}{2ab}.\)

Ha \(\displaystyle \frac{-(a^2+b^2)}{2ab}≤-1\), vagyis \(\displaystyle \frac{a^2+b^2}{2ab}≥1\), akkor az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle e\) szakaszokból nem szerkeszthető háromszög. Szorozzunk \(\displaystyle 2ab>0\)-val:

\(\displaystyle a^2+b^2≥2ab,\)

\(\displaystyle a^2+2ab+b^2≥4ab,\)

\(\displaystyle (a+b)^2≥4ab,\)

\(\displaystyle \frac{a+b}{2}≥\sqrt{ab}.\)

Ez igaz, vagyis az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle e\) szakaszokból nem szerkeszthető háromszög. Ellentmondásra jutottunk, tehát az öt szakasz között biztosan van három olyan, amiből szerkeszthető hegyesszögű háromszög.

Statisztika:

20 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Agócs Katinka, Ajtai Boglárka, Bukor Benedek, Debreczeni Tibor, Dékány Barnabás, Kovács 526 Tamás, Molnár 410 István, Németh Csilla Márta, Spányik Teodor, Surján Anett, Szécsi Adél Lilla, Szőnyi Laura.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2018. májusi matematika feladatai