A C. 1488. feladat (2018. május)

C. 1488. Öt szakaszról tudjuk, hogy bármelyik háromból mint oldalakból valódi háromszög szerkeszthető. Bizonyítsuk be, hogy az így kapott háromszögek közül legalább az egyik hegyesszögű.

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. június 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyenek a szakaszok: $\displaystyle a≤b≤c≤d≤e$.

Tegyük fel, hogy semelyik három szakaszokból nem szerkeszthető hegyesszögű háromszög, legfeljebb derékszögű. Ekkor

$\displaystyle a^2+b^2≤c^2,$

$\displaystyle b^2+c^2≤d^2,$

$\displaystyle a^2+d^2≤e^2.$

Ekkor $\displaystyle a^2+(b^2+c^2)\leq a^2+d^2≤e^2$ és $\displaystyle a^2+b^2+a^2+b^2\leq a^2+b^2+c^2≤e^2$, vagyis

$\displaystyle 2(a^2+b^2 )≤e^2.$

Nézzük meg mekkora lenne az $\displaystyle a$, $\displaystyle b$ szakaszok $\displaystyle φ$ szöge, ha az $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle e$ szakaszokból háromszöget szerkesztenénk! Használjuk a koszinusz tételt:

$\displaystyle \cos φ=\frac{a^2+b^2-e^2}{2ab}\leq\frac{a^2+b^2-2(a^2+b^2)}{2ab}≤\frac{-(a^2+b^2)}{2ab}.$

Ha $\displaystyle \frac{-(a^2+b^2)}{2ab}≤-1$, vagyis $\displaystyle \frac{a^2+b^2}{2ab}≥1$, akkor az $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle e$ szakaszokból nem szerkeszthető háromszög. Szorozzunk $\displaystyle 2ab>0$-val:

$\displaystyle a^2+b^2≥2ab,$

$\displaystyle a^2+2ab+b^2≥4ab,$

$\displaystyle (a+b)^2≥4ab,$

$\displaystyle \frac{a+b}{2}≥\sqrt{ab}.$

Ez igaz, vagyis az $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle e$ szakaszokból nem szerkeszthető háromszög. Ellentmondásra jutottunk, tehát az öt szakasz között biztosan van három olyan, amiből szerkeszthető hegyesszögű háromszög.

Statisztika:

20 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Agócs Katinka, Ajtai Boglárka, Bukor Benedek, Debreczeni Tibor, Dékány Barnabás, Kovács 526 Tamás, Molnár 410 István, Németh Csilla Márta, Spányik Teodor, Surján Anett, Szécsi Adél Lilla, Szőnyi Laura.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2018. májusi matematika feladatai