A C. 1489. feladat (2018. május)

C. 1489. Egy sakktábla bal alsó sarkában áll egy sötét futó, jobb alsó sarkában pedig egy világos futó. Mindkét futó a saját színén haladva egyesével lép felfelé haladva a táblán véletlenszerűen jobbra vagy balra, míg el nem érik a felső sort. Mennyi a valószínűsége, hogy a sötét futó a világos futótól jobbra érkezik a felső sorba?

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. június 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Írjuk be a sakktábla mezőire, hogy a sötét futó az egyes mezőkre mekkora valószínűséggel juthat el.

Kiinduláskor az a1 mezőn áll 1 valószínűséggel. Innen csak egy helyre mehet tovább, tehát a b2 valószínűsége is 1. Innen egyenlő valószínűséggel megy az a3, illetve a c3 mezőkre, így ezek valószínűsége 1/2–1/2. Az a3 mezőről 1 valószínűséggel a b4 mezőre lép, míg c3 mezőről 1/2–1/2 valószínűséggel lép tovább a b4, illetve a d4 mezőre. Tehát a b4 valószínűsége \(\displaystyle p(b4)=1\cdot1/2+1/2\cdot1/2=3/4\), míg d4 valószínűsége \(\displaystyle p(d4)=1/2\cdot1/4=1/8\).

A többi mezőt sorban hasonlóan kitöltve: \(\displaystyle p(a5)=1/2\cdot p(b4)=3/8\), \(\displaystyle p(c5)=1/2\cdot p(b4)+1/2\cdot p(d4)=4/8\),\(\displaystyle p(e5)=1/2\cdot p(d4)=1/8\), \(\displaystyle p(b6)=1\cdot3/8+1/2\cdot4/8=10/16\), \(\displaystyle p(d6)=1/2\cdot4/8+1/2\cdot1/8=5/16\), \(\displaystyle p(f6)=1/2\cdot1/8=1/16\), \(\displaystyle p(a7)=1/2\cdot10/16=10/32\), \(\displaystyle p(c7)=1/2\cdot10/16+1/2\cdot5/16=15/32\), \(\displaystyle p(e7)=1/2\cdot5/16+1/2\cdot1/16=6/32\), \(\displaystyle p(g7)=1/2\cdot1/16=1/32\), végül \(\displaystyle p(b8)=1\cdot10/32+1/2\cdot15/32=35/64\), \(\displaystyle p(d8)=1/2\cdot15/32+1/2\cdot6/32=21/64\), \(\displaystyle p(f8)=1/2\cdot6/32+1/2\cdot1/32=7/64\) és \(\displaystyle p(h8)=1/2\cdot1/32=1/64\).

Mivel a világos futó ugyanezen lépéseket fordítva teszi meg, így az ő esetében \(\displaystyle p(a8)=1/64\), \(\displaystyle p(c8)=7/64\), \(\displaystyle p(e8)=21/64\) és \(\displaystyle p(h8)=35/64\).

Tehát a valószínűségek balról jobbra: világos(1/64), sötét(35/64), világos(7/64), sötét(21/64), világos(21/64), sötét(7/64), világos(35/64), sötét(1/64).

Tehát annak valószínűsége, hogy a sötét futó a világos futótól jobbra érkezik a felső sorba:

\(\displaystyle p=\frac{35}{64}\cdot\frac{1}{64}+\frac{21}{64}\cdot\left(\frac{1+7}{64}\right)+\frac{7}{64}\cdot\left(\frac{1+7+21}{64}\right)+\frac{1}{64}\cdot\left(\frac{1+7+21+35}{64}\right)=\)

\(\displaystyle =\frac{470}{64^2}\approx0,115.\)

Statisztika:

27 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ajtai Boglárka, Molnár 410 István, Spányik Teodor.
3 pontot kapott:	19 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2018. májusi matematika feladatai