A C. 1491. feladat (2018. szeptember)

C. 1491. Az \(\displaystyle ABCD\) téglalap \(\displaystyle AD\) oldala \(\displaystyle 1\) cm hosszú. A \(\displaystyle BAD\) szög szögfelezője és az \(\displaystyle AC\) átló felező merőlegese a \(\displaystyle CD\) oldalon metszi egymást. Adjuk meg a \(\displaystyle CD\) oldal pontos értékét.

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha \(\displaystyle AD=AB\), akkor a szögfelező egybeesik az \(\displaystyle AC\) átlóval, aminek a felező merőlegese a \(\displaystyle D\) pontban metszi a \(\displaystyle CD\) oldalt.

Ha \(\displaystyle AD>AB\), akkor az oldalfelező merőleges nem metszi a \(\displaystyle CD\) szakaszt.

Legyen tehát \(\displaystyle AD<AB\) (ekkor a szögfelező az átló ,,felett" halad) és használjuk az ábra jelöléseit. Az \(\displaystyle AC\) átló felezőpontja legyen \(\displaystyle F\), a \(\displaystyle BAD∡\) szögfelezőjének és az \(\displaystyle AC\) átló felező merőlegesének metszéspontja pedig \(\displaystyle M\).

\(\displaystyle DAM∡=45°\), ezért \(\displaystyle ADM\) egyenlő szárú derékszögű háromszög: \(\displaystyle DM=AD=1\) cm. A háromszög átfogója pedig \(\displaystyle AM=\sqrt2\) cm.

Az \(\displaystyle AC\) átló \(\displaystyle FM\) felező merőlegese szimmetriatengely az \(\displaystyle AMC\) háromszögben, ezért \(\displaystyle MC=AM=\sqrt2\).

Mivel az \(\displaystyle M\) pont a \(\displaystyle DC\) oldalra esik, így \(\displaystyle DC=DM+MC=1+\sqrt2\).

Tehát a \(\displaystyle CD\) oldal pontos értéke: \(\displaystyle 1+\sqrt2\) cm.

Statisztika:

268 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	207 versenyző.
4 pontot kapott:	33 versenyző.
3 pontot kapott:	7 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	10 dolgozat.

A KöMaL 2018. szeptemberi matematika feladatai