A C. 1493. feladat (2018. szeptember)

C. 1493. Az egységnyi területű háromszög \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) oldalaira fennáll: \(\displaystyle a\ge b\ge c\). Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle b\ge \sqrt2\,\).

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Induljunk ki a háromszög területképletéből: \(\displaystyle bm_b=2\). Mivel \(\displaystyle c\), illetve \(\displaystyle m_b\) ugyanabban a derékszögű háromszögben átfogó, illetve befogó, ezért \(\displaystyle c\geq m_b\). Ezekből következik, hogy \(\displaystyle bc\geq bm_b=2\).

Ha \(\displaystyle c≤\sqrt2\), akkor \(\displaystyle b≥\frac2c≥\frac2{\sqrt2}=\sqrt2\), tehát \(\displaystyle b≥\sqrt2\).

Ha \(\displaystyle c>\sqrt2\), akkor \(\displaystyle b≥c>\sqrt2\), tehát \(\displaystyle b>\sqrt2\).

Statisztika:

210 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	91 versenyző.
4 pontot kapott:	43 versenyző.
3 pontot kapott:	8 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	10 versenyző.
0 pontot kapott:	42 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	8 dolgozat.

A KöMaL 2018. szeptemberi matematika feladatai