A C. 1493. feladat (2018. szeptember)

C. 1493. Az egységnyi területű háromszög $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c$ oldalaira fennáll: $\displaystyle a\ge b\ge c$. Mutassuk meg, hogy $\displaystyle b\ge \sqrt2\,$.

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Induljunk ki a háromszög területképletéből: $\displaystyle bm_b=2$. Mivel $\displaystyle c$, illetve $\displaystyle m_b$ ugyanabban a derékszögű háromszögben átfogó, illetve befogó, ezért $\displaystyle c\geq m_b$. Ezekből következik, hogy $\displaystyle bc\geq bm_b=2$.

Ha $\displaystyle c≤\sqrt2$, akkor $\displaystyle b≥\frac2c≥\frac2{\sqrt2}=\sqrt2$, tehát $\displaystyle b≥\sqrt2$.

Ha $\displaystyle c>\sqrt2$, akkor $\displaystyle b≥c>\sqrt2$, tehát $\displaystyle b>\sqrt2$.

Statisztika:

210 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	91 versenyző.
4 pontot kapott:	43 versenyző.
3 pontot kapott:	8 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	10 versenyző.
0 pontot kapott:	42 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	8 dolgozat.

A KöMaL 2018. szeptemberi matematika feladatai