A C. 1497. feladat (2018. október)

C. 1497. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. november 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Összeszorozva a három egyenletet: $\displaystyle (xyz)^2=xyz$.

Ez csak úgy lehetséges, ha $\displaystyle xyz=0$ vagy $\displaystyle xyz=1$.

Ha $\displaystyle xyz=0$, akkor ha pl. $\displaystyle z=0$, akkor a 2. és 3. egyenletből $\displaystyle y=0$, illetve $\displaystyle x=0$ következik. Hasonlóan, $\displaystyle y=0$, illetve $\displaystyle x=0$ esetén is kijön, hogy a másik két változó értéke is $\displaystyle 0$. Tehát ebben az esetben egy megoldás van: $\displaystyle x=y=z=0$.

Ha $\displaystyle xyz=1$, akkor az $\displaystyle xy$ helyére $\displaystyle z$-t beírva $\displaystyle z^2=1$ adódik, és hasonlóan, $\displaystyle y^2=1$ és $\displaystyle x^2=1$. Ez azt jelenti, hogy a változók értéke $\displaystyle 1$ vagy $\displaystyle -1$ lehet, de úgy, hogy $\displaystyle xyz=1$ teljesüljön. Így a következő megoldások adódnak, melyek az eredeti egyenletrendszert is kielégítik:

Statisztika:

328 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	123 versenyző.
4 pontot kapott:	33 versenyző.
3 pontot kapott:	54 versenyző.
2 pontot kapott:	29 versenyző.
1 pontot kapott:	45 versenyző.
0 pontot kapott:	30 versenyző.
Nem versenyszerű:	4 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	10 dolgozat.

A KöMaL 2018. októberi matematika feladatai