 |
A C. 1497. feladat (2018. október) |
C. 1497. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:
$$\begin{align*} xy & =z,\\ xz & =y,\\ yz & =x. \end{align*}$$(5 pont)
A beküldési határidő 2018. november 12-én LEJÁRT.
Megoldás. Összeszorozva a három egyenletet: \(\displaystyle (xyz)^2=xyz\).
Ez csak úgy lehetséges, ha \(\displaystyle xyz=0\) vagy \(\displaystyle xyz=1\).
Ha \(\displaystyle xyz=0\), akkor ha pl. \(\displaystyle z=0\), akkor a 2. és 3. egyenletből \(\displaystyle y=0\), illetve \(\displaystyle x=0\) következik. Hasonlóan, \(\displaystyle y=0\), illetve \(\displaystyle x=0\) esetén is kijön, hogy a másik két változó értéke is \(\displaystyle 0\). Tehát ebben az esetben egy megoldás van: \(\displaystyle x=y=z=0\).
Ha \(\displaystyle xyz=1\), akkor az \(\displaystyle xy\) helyére \(\displaystyle z\)-t beírva \(\displaystyle z^2=1\) adódik, és hasonlóan, \(\displaystyle y^2=1\) és \(\displaystyle x^2=1\). Ez azt jelenti, hogy a változók értéke \(\displaystyle 1\) vagy \(\displaystyle -1\) lehet, de úgy, hogy \(\displaystyle xyz=1\) teljesüljön. Így a következő megoldások adódnak, melyek az eredeti egyenletrendszert is kielégítik:
| \(\displaystyle x\) | \(\displaystyle y\) | \(\displaystyle z\) |
| \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle 1\) |
| \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle -1\) | \(\displaystyle -1\) |
| \(\displaystyle -1\) | \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle -1\) |
| \(\displaystyle -1\) | \(\displaystyle -1\) | \(\displaystyle 1\) |
Statisztika:
328 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 123 versenyző. 4 pontot kapott: 33 versenyző. 3 pontot kapott: 54 versenyző. 2 pontot kapott: 29 versenyző. 1 pontot kapott: 45 versenyző. 0 pontot kapott: 30 versenyző. Nem versenyszerű: 4 dolgozat. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 10 dolgozat.
A KöMaL 2018. októberi matematika feladatai