Problem C. 1500. (October 2018)

C. 1500. On a line segment \(\displaystyle AB\), the points \(\displaystyle X\) and \(\displaystyle Y\) are marked, and the squares \(\displaystyle AXPQ\), \(\displaystyle XBRS\), \(\displaystyle BYWV\) and \(\displaystyle YAUT\) are drawn, with their vertices labelled in counterclockwise order. The centres of the squares are denoted by \(\displaystyle K\), \(\displaystyle L\), \(\displaystyle M\) and \(\displaystyle N\), respectively. Prove that the line segments \(\displaystyle KM\) and \(\displaystyle LN\) are perpendicular and equal in length.

German competition problem

(5 pont)

Deadline expired on November 12, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelölje az \(\displaystyle AB\) szakasz hosszát \(\displaystyle a\), az \(\displaystyle AX\) szakasz hosszát \(\displaystyle x\), a \(\displaystyle BY\) szakasz hosszát \(\displaystyle y\).

A \(\displaystyle K\), \(\displaystyle L\), \(\displaystyle M\) és \(\displaystyle N\) pontok távolsága az \(\displaystyle AB\) szakasztól rendre a négyzeteik oldalának a fele. Tehát \(\displaystyle d(K;AB)=\frac{x}{2}\), \(\displaystyle d(L;AB)=\frac{a-x}{2}\), \(\displaystyle d(M;AB)=\frac{y}{2}\) és \(\displaystyle d(N;AB)=\frac{a-y}{2}\).

Vegyünk fel két derékszögű háromszöget, melyek átfogói \(\displaystyle KM\), illetve \(\displaystyle LN\) és a két háromszög egy-egy befogója legyen párhuzamos az \(\displaystyle AB\) szakasszal. Az ábrán így \(\displaystyle KC \parallel AB\) és \(\displaystyle ND \parallel AB\) és emiatt \(\displaystyle MC \perp AB\) és \(\displaystyle LD \perp AB\). Belátjuk, hogy az ábrán látható \(\displaystyle KMC\), illetve \(\displaystyle LND\) háromszög egybevágók. A \(\displaystyle KMC\) háromszögben a \(\displaystyle KC\) befogó hossza \(\displaystyle a-\frac{x}{2}-\frac{y}{2}\), a \(\displaystyle CM\) befogó hossza pedig \(\displaystyle \frac{x}{2}+\frac{y}{2}\). Az \(\displaystyle LND\) háromszögben az \(\displaystyle LD\) befogó hossza \(\displaystyle \frac{a-y}{2}+\frac{a-x}{2}\), az \(\displaystyle ND\) befogó hossza pedig \(\displaystyle a-\Big(a-\frac{x}{2}-\frac{y}{2}\Big) = \frac{x}{2}+\frac{y}{2}\).

A fentiek alapján a \(\displaystyle KMC\) és az \(\displaystyle LND\) háromszög valóban egybevágó, hiszen \(\displaystyle KC=LD\) és \(\displaystyle CM=ND\), és a megfelelő oldalak által bezárt szög megegyezik (\(\displaystyle 90^{\circ}\)). Ebből következően \(\displaystyle KM\) és \(\displaystyle LN\) valóban egyenlő hosszúak. Merőlegességük abból következik, hogy a két háromszögben az azonos hosszúságú oldalak egymásra merőlegesek: \(\displaystyle ND \perp MC\) és \(\displaystyle LD \perp KC\) és a körüljárási irány megegyezik, amiből következően \(\displaystyle KM \perp LN\) is szükszégszerűen teljesül.

Hunyadi Marcell (Szegedi Radnóti M. Kísérleti Gimn., 12. évf.)

Statistics:

201 students sent a solution.
5 points:	98 students.
4 points:	34 students.
3 points:	21 students.
2 points:	13 students.
1 point:	7 students.
0 point:	18 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	8 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2018