A C. 1501. feladat (2018. október)

C. 1501. Melyik az a leghosszabb számtani sorozat, amelynek tagjai 200-nál kisebb, különböző prímszámok?

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. november 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Tegyük fel, hogy egy sorozat első eleme nem prímszám. Ekkor megállapítható, hogy ha a differencia nem többszöröse \(\displaystyle p\)-nek (\(\displaystyle p\) prímszám), akkor legkésőbb a \(\displaystyle p\)-edik elem osztható lesz \(\displaystyle p\)-vel, mivel a \(\displaystyle p+1\)-edik elem ugyanakkora maradékot ad \(\displaystyle p\)-vel osztva, mint az első elem. Mivel mindegyik tagnál más a maradék értéke a szomszédhoz viszonyítottan, és a prímszám miatt nem lehet két azonos maradék sem, így az egyik elem maradéka \(\displaystyle 0\).

Ilyen feltételek mellett ahhoz, hogy a sorozatunk \(\displaystyle 2\) elemből állhasson, a differenciának oszthatónak kell lennie \(\displaystyle 2\)-vel.

Ahhoz, hogy a sorozatunk \(\displaystyle 3\) elemből állhasson, a differenciának oszthatónak kell lennie \(\displaystyle 2\cdot3=6\)-tal.

Ahhoz, hogy a sorozatunk \(\displaystyle 5\) elemből állhasson, a differenciának oszthatónak kell lennie \(\displaystyle 2\cdot3\cdot5=30\)-cal.

Ahhoz, hogy a sorozatunk \(\displaystyle 7\) elemből állhasson, a differenciának oszthatónak kell lennie \(\displaystyle 2\cdot3\cdot5\cdot7=210\)-zel.

Látható, hogy ily módon legfeljebb \(\displaystyle 6\) elemből álló sorozatot alkothatunk. Többre csak úgy van lehetőség, ha a sorozat kezdőeleme \(\displaystyle p\), ekkor a differencia nem kell, hogy \(\displaystyle p\)-vel osztható legyen. \(\displaystyle p > 7\) esetén a differencia továbbra is osztható lenne \(\displaystyle 210\)-zel. \(\displaystyle p=7\) esetén a \(\displaystyle 30\)-cal való oszthatóságnak kell teljesülnie, így a sorozat adott:

\(\displaystyle 7,\,37,\,67,\,97,\,127,\,157,\,187\).

Itt a hetedik szám összetett, tehát valójában \(\displaystyle 7\) tagból álló sorozatot sem képezhetünk, viszont 6 tagra kaptunk egy megfelelő sorozatot.

Debreczeni Tibor (Békásmegyeri Veres Péter Gimnázium, Budapest, 12. évf.)

Statisztika:

232 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ajtai Boglárka, Balogh Domonkos, Beinschroth Ninett, Bognár 171 András Károly, Buzás Bence István, Csiszár Bence László, Csonka Illés, Debreczeni Dorina, Debreczeni Tibor, Fodor Marcel, Fonyi Máté Sándor, Görcs András, Gubik Boglárka, György Bettina, Halasi Tamás, Halász Henrik, Inokai Dávid, Kardkovács Levente, Kerekes Boldizsár, Kis 194 Károly, Kovács Alex, Mácsai Dániel, Mészáros 916 Márton, Molnár 410 István, Molnár Réka, Molnár-Szabó Vilmos, Móra Márton Barnabás, Nádor Benedek, Nagy 551 Levente, Nyilas Domonkos István, Nyitrai Boglárka, Páhán Anita Dalma, Pásti Bence, Robin Eszter, Rozgonyi Gergely, Schenk Anna, Szakács Ábel, Szalanics Tamás, Szanyi Attila, Szendrei Botond, Tálas József Soma, Tóth 416 Máté, Ungár Éva, Williams Hajna, Zempléni Lilla.
4 pontot kapott:	42 versenyző.
3 pontot kapott:	39 versenyző.
2 pontot kapott:	19 versenyző.
1 pontot kapott:	40 versenyző.
0 pontot kapott:	33 versenyző.
Nem versenyszerű:	4 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	10 dolgozat.

A KöMaL 2018. októberi matematika feladatai