A C. 1503. feladat (2018. október)

C. 1503. Egy adott háromszögben az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) oldalak hosszának négyzetei ebben a sorrendben számtani sorozatot alkotnak. Mutassuk meg, hogy a \(\displaystyle b\) oldallal szemközti szög nagysága legfeljebb \(\displaystyle 60^{\circ}\) lehet.

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. november 12-én LEJÁRT.

Megoldás. A \(\displaystyle b\) oldal a 2. leghosszabb oldal a háromszögben, ezért \(\displaystyle \beta\) < \(\displaystyle \frac{\pi}{2}\) hegyesszög.

A számtani sorozat definíciója miatt

\(\displaystyle b^2= \frac{a^2+c^2}{2}, \)

továbbá a koszinusz-tétel miatt

\(\displaystyle b^2=a^2+c^2-2ac\cos \beta, \)

\(\displaystyle \frac{a^2+c^2}{2} = a^2+c^2-2ac\cos \beta. \)

Az egyenletet cos\(\displaystyle \beta\) -ra rendezve:

\(\displaystyle cos\beta= \frac{a^2+c^2}{4ac}. \)

A koszinusz függvény a \(\displaystyle \left(0;\frac\pi2\right)\) intervallumon szigorúan monoton csökkenő. Ahhoz, hogy \(\displaystyle \beta\) a lehető legnagyobb legyen, ahhoz \(\displaystyle \cos\beta\) a lehető legkisebb kell, hogy legyen.

Ismert egyenlőtlenség, hogy \(\displaystyle x^2+y^2 \geqq 2xy \), mert \(\displaystyle (x-y)^2 \geqq 0 \). Ezt felhasználva

\(\displaystyle \cos\beta= \frac{a^2+c^2}{4ac} \geqq \frac{2ac}{4ac} = \frac12. \)

Egyenlőség akkor teljesülhetne, hogyha \(\displaystyle a=c\) lenne, de ez a feltétel miatt kizárt. \(\displaystyle \cos\beta\) nagyobb lesz minden körülmények között \(\displaystyle 0,5\)-nél, ezért \(\displaystyle \beta\) kisebb, mint \(\displaystyle 60^{\circ}\).

Jost Márk Benedek (Szegedi Radnóti Miklós Kísérleti Gimnázium, 11. évf.)

Statisztika:

71 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ajtai Boglárka, Demcsák Ágnes, Gulyás Bálint, Györfi Bence, Hordós Adél Zita, Jost Márk Benedek, Kardkovács Levente, Kis 194 Károly, Mészáros 916 Márton, Molnár 410 István, Nagy 202 Eszter , Rozgonyi Gergely, Rusvai Miklós, Schäffer Tamás, Sebe Anna, Stefula Máté, Szigeti Donát, Tóth 529 Petra, Tóth Imre, Varga Ákos.
4 pontot kapott:	Andorfi István, Babolcsay Barbara, Debreczeni Tibor, Dénes Gergő, Falvay Júlia, Forgács Kata, Horváth 142 Tamara, Kalabay László, Kis-Tóth Janka, Lukács Emma, Paksi Barnabás, Pikéthy Áron, Pipis Panna, Sal Dávid, Székelyhidi Klára, Teleki Sándor, Tóth Benedek.
3 pontot kapott:	6 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	12 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	9 dolgozat.

A KöMaL 2018. októberi matematika feladatai