A C. 1505. feladat (2018. november)

C. 1505. Mekkora hányadát fedik le a játéktér területének egy sakktáblán a sötét mezők körülírt körei?

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Először tekintsük két csúcsszomszédos sötét mező körülírt körét. Definíció szerint mindkét kör átmegy a négyzetek közös csúcsán. Szimmetriai okok miatt, ha ezen két körülírt körnek a csúcsokon kívül máshol is lenne közös pontja, akkor még kettő lenne, ami nem lehetséges, hiszen 2 különböző körnek 0, 1 vagy 2 metszéspontja lehet. Így a sötét mezők körülírt körei a csúcsokban érintik egymást, és a sötét mezőkön kívüli körszeleteik diszjunktak. Azaz így néz ki a sakktáblánk a sötét mezők körülírt köreivel:

Vegyük észre, hogy háromféle sötét mezőt tudunk megkülönböztetni az alapján, hogy az adott mező körülírt körének hány ,,kilógó'' (az adott sötét mezőn kívül elehelyezkedő) körszelete esik a sakktáblán belülre:
1. eset: csak kettő: ezek a sarkokban levő sötét mezők, 2 db ilyen van,
2. eset: három: ezek a széleken, de nem sarokban levő sötét mezők: 12 db ilyen van,
3. eset: mind a négy: ezek a középső (sötét) mezők, $\displaystyle 32-2-12=18$ db ilyen van.

Most számoljuk ki, hogy melyik esetben mekkora területet fed le egy-egy sötét mező körülírt köre a sakktáblából, ehhez vegyük a sakktábla mezőinek oldalhosszát 1 egységnek.

Ekkor a körülírt körének sugara (a Pitagorasz-tétel alapján) $\displaystyle \frac{1}{\sqrt 2}$. A négyzet területe $\displaystyle t_{\text{négyzet}}=1$, körülírt körének területe pedig $\displaystyle t_{\text{kör}}=\frac{\pi}{2}$. Szimmetria okokból egy ,,kilógó'' körszelet területe: $\displaystyle t_{\text{körszelet}}=\left(\frac{\pi}{2}-1\right) /4= \frac{\pi}{8}-\frac{1}{4}$.

Ezek alapján a sötét mezők kürülírt körei által lefedett terület:

$\displaystyle t=2 \left[1+2\left(\frac{\pi}{8}-\frac{1}{4}\right)\right] + 12 \left[1+3\left(\frac{\pi}{8}-\frac{1}{4}\right)\right]+ 18\cdot \frac{\pi}{2} = \left(1+\frac{\pi}{2}\right)+\left(3+\frac{9\pi}{2}\right)+9 \pi,$

$\displaystyle t=4+14\pi.$

A sakktábla területe $\displaystyle t_{\text{sakktabla}}=64$, így a keresett arány:

$\displaystyle \frac{t}{t_{\text{sakktabla}}}= \frac{4+ 14\pi}{64} \approx 0,7497.$

Azaz a sakktábla sötét mezőinek körülírt körei a játéktér $\displaystyle \frac{2+ 7\pi}{32}$-ed részét fedik le.

Statisztika:

246 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	135 versenyző.
4 pontot kapott:	50 versenyző.
3 pontot kapott:	21 versenyző.
2 pontot kapott:	23 versenyző.
1 pontot kapott:	9 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	7 dolgozat.

A KöMaL 2018. novemberi matematika feladatai