 |
A C. 1506. feladat (2018. november) |
C. 1506. Oldjuk meg a \(\displaystyle p^q+1=q^p\) egyenletet, ahol \(\displaystyle p\), \(\displaystyle q\) pozitív prímszámokat jelöl.
(5 pont)
A beküldési határidő 2018. december 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Különböztessünk meg 3 esetet \(\displaystyle p\) és \(\displaystyle q\) paritása szerint:
1. eset: \(\displaystyle p\) és \(\displaystyle q\) paritása egyezik.
Ekkor \(\displaystyle p^q\) és \(\displaystyle q^p\) paritása is egyezik, így az egyenlet egyik oldalán páros, másik oldalán pedig páratlan szám áll, vagyis ebben az esetben nincs megoldás.
2. eset: \(\displaystyle p\) páros, azaz \(\displaystyle p=2\) és \(\displaystyle q\) páratlan.
Ebben az esetben az egyenlet:
\(\displaystyle 2^q+1=q^2.\)
Ezt átrendezve, majd átalakítva kapjuk, hogy
\(\displaystyle 2^q=q^2-1,\)
\(\displaystyle 2^q=(q-1)(q+1).\)
Az egyenlet bal oldala 2-hatvány, azaz \(\displaystyle q-1\) és \(\displaystyle q+1\) is 2-hatvány, ráadásul két olyan 2-hatvány, melyek különbsége 2. A \(\displaystyle q-1=2\) és \(\displaystyle q+1=4\) jó megoldás, és mivel a szomszédos 2-hatványok közti különbség szigorúan monoton nő (hiszen \(\displaystyle 2^{k-1}\) és \(\displaystyle 2^k\) különbsége \(\displaystyle 2^{k-1}\)), így nincs több megoldás. Ebből \(\displaystyle q=3\). Visszahelyettesítve az eredeti egyenletbe valóban egyenlőséget kapunk:
\(\displaystyle 2^3+1=3^2.\)
Tehát \(\displaystyle p=2\) és \(\displaystyle q=3\) egy megoldása az egyenletnek.
3. eset: \(\displaystyle p\) páratlan és \(\displaystyle q\) páros, azaz \(\displaystyle q=2\).
Ekkor
\(\displaystyle p^2+1=2^p.\)
Négyzetszám \(\displaystyle 4\)-es maradéka nem lehet \(\displaystyle 3\), így a bal oldalt a \(\displaystyle 4\) nem osztja, míg a jobb oldalt igen, hiszen \(\displaystyle p>2.\) Vagyis ebben az esetben sincs megoldás.
Azaz \(\displaystyle p=2\) és \(\displaystyle q=3\) az egyenlet egyetlen megoldása.
Statisztika:
352 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 238 versenyző. 4 pontot kapott: 11 versenyző. 3 pontot kapott: 45 versenyző. 2 pontot kapott: 11 versenyző. 1 pontot kapott: 28 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 16 dolgozat.
A KöMaL 2018. novemberi matematika feladatai