A C. 1506. feladat (2018. november)

C. 1506. Oldjuk meg a $\displaystyle p^q+1=q^p$ egyenletet, ahol $\displaystyle p$, $\displaystyle q$ pozitív prímszámokat jelöl.

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Különböztessünk meg 3 esetet $\displaystyle p$ és $\displaystyle q$ paritása szerint:

1. eset: $\displaystyle p$ és $\displaystyle q$ paritása egyezik.
Ekkor $\displaystyle p^q$ és $\displaystyle q^p$ paritása is egyezik, így az egyenlet egyik oldalán páros, másik oldalán pedig páratlan szám áll, vagyis ebben az esetben nincs megoldás.

2. eset: $\displaystyle p$ páros, azaz $\displaystyle p=2$ és $\displaystyle q$ páratlan.
Ebben az esetben az egyenlet:

$\displaystyle 2^q+1=q^2.$

Ezt átrendezve, majd átalakítva kapjuk, hogy

$\displaystyle 2^q=q^2-1,$

$\displaystyle 2^q=(q-1)(q+1).$

Az egyenlet bal oldala 2-hatvány, azaz $\displaystyle q-1$ és $\displaystyle q+1$ is 2-hatvány, ráadásul két olyan 2-hatvány, melyek különbsége 2. A $\displaystyle q-1=2$ és $\displaystyle q+1=4$ jó megoldás, és mivel a szomszédos 2-hatványok közti különbség szigorúan monoton nő (hiszen $\displaystyle 2^{k-1}$ és $\displaystyle 2^k$ különbsége $\displaystyle 2^{k-1}$), így nincs több megoldás. Ebből $\displaystyle q=3$. Visszahelyettesítve az eredeti egyenletbe valóban egyenlőséget kapunk:

$\displaystyle 2^3+1=3^2.$

Tehát $\displaystyle p=2$ és $\displaystyle q=3$ egy megoldása az egyenletnek.

3. eset: $\displaystyle p$ páratlan és $\displaystyle q$ páros, azaz $\displaystyle q=2$.
Ekkor

$\displaystyle p^2+1=2^p.$

Négyzetszám $\displaystyle 4$-es maradéka nem lehet $\displaystyle 3$, így a bal oldalt a $\displaystyle 4$ nem osztja, míg a jobb oldalt igen, hiszen $\displaystyle p>2.$ Vagyis ebben az esetben sincs megoldás.

Azaz $\displaystyle p=2$ és $\displaystyle q=3$ az egyenlet egyetlen megoldása.

Statisztika:

352 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	238 versenyző.
4 pontot kapott:	11 versenyző.
3 pontot kapott:	45 versenyző.
2 pontot kapott:	11 versenyző.
1 pontot kapott:	28 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	16 dolgozat.

A KöMaL 2018. novemberi matematika feladatai