 |
A C. 1510. feladat (2018. november) |
C. 1510. Egy egyenes csonkakúp alapkörének \(\displaystyle 8\) cm, fedőkörének \(\displaystyle 5\) cm a sugara. Alkotójának hossza \(\displaystyle 12\) cm. Ha a csonkakúpot elfektetve gurítjuk, palástjának pontjai egy körgyűrűt fednek be. Határozzuk meg a körgyűrű külső és belső körének sugarát, valamint azt, hogy hányszor fordul körbe a csonkakúp, mire visszaér a kiinduló helyzetbe.
(5 pont)
A beküldési határidő 2018. december 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Vegyük a csonkakúpnak egy olyan síkmetszetét, mely illeszkedik az alapkör, illetve a fedőkör középpontjára. Ez a síkmetszet egy szimmetrikus trapéz, melynek alapjai 10 és 16 cm-esek, szárai 12 cm-esek.
Ezt a trapézt egészítsük ki a kiegészítőháromszögével az ábrán látható módon, majd alkalmazzuk a párhuzamos szelőszakaszok tételét:
\(\displaystyle \frac{OC}{OC+12}=\frac{10}{16}.\)
Ezt átrendezve kapjuk, hogy
\(\displaystyle 16 OC=10 OC +120,\)
\(\displaystyle 6OC=120,\)
\(\displaystyle OC=20.\)
Most vegyük észre, hogy a csonkakúp palástjának pontjai által meghatározott körgyűrűnek éppen \(\displaystyle O\) a középpontja, \(\displaystyle OC\), azaz 20 cm a körgyűrű belső körének és \(\displaystyle OA\), azaz \(\displaystyle 20+12=32\) cm a külső körének a sugara. (Képzelhetjük úgy, mintha a csonkakúpot kiegészítettük volna egy egyenes kúppá, melynek csúcspontja \(\displaystyle O\), és a kúpot gurítjuk a lapon.)
A körgyűrű belső körén a csonkakúp fedőköre, míg külső körén az alapköre gurul. Azaz, hogy meghatározzuk, hogy hányszor fordul körbe a csonkakúp, míg visszaér, meg kell mondanunk, hogy például a fedőköre kerületének hányszorosa a körgyűrű belső körének kerülete. A kérdéses kerületek:
\(\displaystyle k_{\text {fedőkör}}=10\pi,\)
\(\displaystyle k_{\text{belsőkör}}=40\pi.\)
\(\displaystyle \frac{40 \pi}{10 \pi}=4,\) azaz 4-szer fordul körbe a csonkakúp, mire visszaér a kiinduló helyzetbe.
Statisztika:
73 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Ajtai Boglárka, Andorfi István, Babolcsay Barbara, Balogh Bence, Bárdos Deák Botond, Bendicskó Laura, Borzon Márton, Bottlik Domonkos, Csák Zolta, Gálffy Veronika, Györfi Bence, Halász 237 Lajos, Hordós Adél Zita, Horváth 142 Tamara, Ill Ninetta, Jankovits András, Kalabay László, Kis 194 Károly, Kis-Tóth Janka, Kovács 111 Bence, Kubik Emese, Laczkó Anna, Lénárt Martin, Lukács Emma, Mészáros 916 Márton, Molnár 410 István, Nagy 202 Eszter , Nagy Miron, Német Franciska, Nyitrai Boglárka, Rátki Luca, Rozgonyi Gergely, Rusvai Miklós, Sal Dávid, Schäffer Tamás, Sebe Anna, Szabó 677 Balázs István, Szalontai Kinga Sára, Székelyhidi Klára, Szigeti Donát, Tóth Benedek, Tóth Imre, Török Vince, Varga Ákos, Vlaszov Artúr. 4 pontot kapott: 8 versenyző. 3 pontot kapott: 4 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 3 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 8 dolgozat.
A KöMaL 2018. novemberi matematika feladatai