A C. 1514. feladat (2018. december)

C. 1514. Az egységnégyzetet négy egyenlő szárú háromszögre bontjuk úgy, hogy a négyzet egy belső pontját összekötjük a csúcsokkal. Határozzuk meg a négy háromszög területe szorzatának minimális és maximális értékét.

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen $\displaystyle A,B,C$ és $\displaystyle D$ a négyzet 4 csúcsa, és $\displaystyle e$, illetve $\displaystyle f$ az $\displaystyle AB$, illetve a $\displaystyle BC$ oldal felezőmerőlegese. Nyilvánvaló, hogy $\displaystyle e \cap f$ egy jó $\displaystyle P$ pont. Ebben az esetben minden szárat $\displaystyle P$ és egy csúcs közti szakasz alkot (melyek egyforma hosszúak).

Ekkor mind a 4 egyenlőszárú háromszög területe $\displaystyle \frac{1}{4}$, azaz a szorzatuk $\displaystyle \left(\frac{1}{4}\right)^4=\frac{1}{256}.$

Most tegyük fel, hogy $\displaystyle P \notin e,f$. Ilyenkor a háromszög egyik szára a négyzet oldala kell, hogy legyen. Nézzük először az $\displaystyle APD$ háromszöget. Itt $\displaystyle AD=1$, és például legyen $\displaystyle AP=1.$ (A $\displaystyle DP=1$ eset szimmetriai okokból ugyanígy megy.) Ekkor $\displaystyle P$ rajta van az $\displaystyle A$ középpontú egy sugarú (negyed)köríven. Most vegyük a $\displaystyle DCP$ háromszöget. Ekkor két eset van:

1. eset: $\displaystyle CD=CP=1$, ami nem lehetséges, hiszen ekkor $\displaystyle P$-nek rajta kellene lenni a $\displaystyle C$ középpontú egy sugarú (negyed)köríven is. (A két (negyed)körív viszont $\displaystyle B$-ben és $\displaystyle D$-ben metszi egymást.)

2. eset $\displaystyle CD=DP=1$. Ekkor viszont az $\displaystyle ADP$ háromszög szabályos, azaz $\displaystyle P$ rajta van $\displaystyle f$-en. Ez az ellentmondás mutatja, hogy $\displaystyle P$ rajta van legalább az egyik oldalfelező merőlegesen.

Végül legyen $\displaystyle P \in e,P\notin f$ ($\displaystyle P \in f, P\notin e$ szimmetriai okokból ugyanígy megy). Ekkor az $\displaystyle ADP$ háromszögben az egyik szár az $\displaystyle AD$ (hiszen $\displaystyle P\notin f$), a másik pedig például az $\displaystyle AP$, azaz $\displaystyle AD=AP=1$. Mivel $\displaystyle P \in e$, így az $\displaystyle ABP$ háromszög egy 1 oldalú szabályos háromszög. Ekkor a $\displaystyle BPC$ háromszögben $\displaystyle BP$ és $\displaystyle BC$ a két (1 hosszú) szár, tehát valóban mind a négy létrejövő háromszög egyenlő szárú. Ekkor az $\displaystyle APD$ és a $\displaystyle BPC$ háromszög területe $\displaystyle \frac{1}{4}$, hiszen 1 az egyik oldal és $\displaystyle \frac{1}{2}$ a hozzá tartozó magasság. A másik két háromszögből az egyik egy 1 oldalú szabályos háromszög, aminek a magassága $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$, a területe pedig $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}$. Ekkor a negyedik háromszög területe $\displaystyle \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{2-\sqrt{3}}{4}$. Ebben az esetben a háromszögek területének szorzata $\displaystyle \frac{2\sqrt{3}-3}{256}$. Más eset pedig nincsen. (Tehát, ha $\displaystyle P$ nem a négyzet középpontja, akkor csak a négyzet oldalára befelé állított szabályos háromszög harmadik csúcsa lehet.)

Azaz a keresett szorzat maximális értéke $\displaystyle \frac{1}{256}\approx 0,0039$, minimális értéke pedig $\displaystyle \frac{2\sqrt{3}-3}{256}\approx 0,0018$.

Statisztika:

222 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	131 versenyző.
4 pontot kapott:	33 versenyző.
3 pontot kapott:	19 versenyző.
2 pontot kapott:	23 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	9 dolgozat.

A KöMaL 2018. decemberi matematika feladatai