Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1514. feladat (2018. december)

C. 1514. Az egységnégyzetet négy egyenlő szárú háromszögre bontjuk úgy, hogy a négyzet egy belső pontját összekötjük a csúcsokkal. Határozzuk meg a négy háromszög területe szorzatának minimális és maximális értékét.

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. január 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Legyen A,B,C és D a négyzet 4 csúcsa, és e, illetve f az AB, illetve a BC oldal felezőmerőlegese. Nyilvánvaló, hogy ef egy jó P pont. Ebben az esetben minden szárat P és egy csúcs közti szakasz alkot (melyek egyforma hosszúak).

Ekkor mind a 4 egyenlőszárú háromszög területe 14, azaz a szorzatuk (14)4=1256.

Most tegyük fel, hogy Pe,f. Ilyenkor a háromszög egyik szára a négyzet oldala kell, hogy legyen. Nézzük először az APD háromszöget. Itt AD=1, és például legyen AP=1. (A DP=1 eset szimmetriai okokból ugyanígy megy.) Ekkor P rajta van az A középpontú egy sugarú (negyed)köríven. Most vegyük a DCP háromszöget. Ekkor két eset van:

1. eset: CD=CP=1, ami nem lehetséges, hiszen ekkor P-nek rajta kellene lenni a C középpontú egy sugarú (negyed)köríven is. (A két (negyed)körív viszont B-ben és D-ben metszi egymást.)

2. eset CD=DP=1. Ekkor viszont az ADP háromszög szabályos, azaz P rajta van f-en. Ez az ellentmondás mutatja, hogy P rajta van legalább az egyik oldalfelező merőlegesen.

Végül legyen Pe,Pf (Pf,Pe szimmetriai okokból ugyanígy megy). Ekkor az ADP háromszögben az egyik szár az AD (hiszen Pf), a másik pedig például az AP, azaz AD=AP=1. Mivel Pe, így az ABP háromszög egy 1 oldalú szabályos háromszög. Ekkor a BPC háromszögben BP és BC a két (1 hosszú) szár, tehát valóban mind a négy létrejövő háromszög egyenlő szárú. Ekkor az APD és a BPC háromszög területe 14, hiszen 1 az egyik oldal és 12 a hozzá tartozó magasság. A másik két háromszögből az egyik egy 1 oldalú szabályos háromszög, aminek a magassága 32, a területe pedig 34. Ekkor a negyedik háromszög területe 1234=234. Ebben az esetben a háromszögek területének szorzata 233256. Más eset pedig nincsen. (Tehát, ha P nem a négyzet középpontja, akkor csak a négyzet oldalára befelé állított szabályos háromszög harmadik csúcsa lehet.)

Azaz a keresett szorzat maximális értéke 12560,0039, minimális értéke pedig 2332560,0018.


Statisztika:

222 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:131 versenyző.
4 pontot kapott:33 versenyző.
3 pontot kapott:19 versenyző.
2 pontot kapott:23 versenyző.
1 pontot kapott:5 versenyző.
0 pontot kapott:2 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:9 dolgozat.

A KöMaL 2018. decemberi matematika feladatai