A C. 1514. feladat (2018. december)

C. 1514. Az egységnégyzetet négy egyenlő szárú háromszögre bontjuk úgy, hogy a négyzet egy belső pontját összekötjük a csúcsokkal. Határozzuk meg a négy háromszög területe szorzatának minimális és maximális értékét.

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen \(\displaystyle A,B,C\) és \(\displaystyle D\) a négyzet 4 csúcsa, és \(\displaystyle e\), illetve \(\displaystyle f\) az \(\displaystyle AB\), illetve a \(\displaystyle BC\) oldal felezőmerőlegese. Nyilvánvaló, hogy \(\displaystyle e \cap f\) egy jó \(\displaystyle P\) pont. Ebben az esetben minden szárat \(\displaystyle P\) és egy csúcs közti szakasz alkot (melyek egyforma hosszúak).

Ekkor mind a 4 egyenlőszárú háromszög területe \(\displaystyle \frac{1}{4}\), azaz a szorzatuk \(\displaystyle \left(\frac{1}{4}\right)^4=\frac{1}{256}.\)

Most tegyük fel, hogy \(\displaystyle P \notin e,f\). Ilyenkor a háromszög egyik szára a négyzet oldala kell, hogy legyen. Nézzük először az \(\displaystyle APD\) háromszöget. Itt \(\displaystyle AD=1\), és például legyen \(\displaystyle AP=1.\) (A \(\displaystyle DP=1\) eset szimmetriai okokból ugyanígy megy.) Ekkor \(\displaystyle P\) rajta van az \(\displaystyle A\) középpontú egy sugarú (negyed)köríven. Most vegyük a \(\displaystyle DCP\) háromszöget. Ekkor két eset van:

1. eset: \(\displaystyle CD=CP=1\), ami nem lehetséges, hiszen ekkor \(\displaystyle P\)-nek rajta kellene lenni a \(\displaystyle C\) középpontú egy sugarú (negyed)köríven is. (A két (negyed)körív viszont \(\displaystyle B\)-ben és \(\displaystyle D\)-ben metszi egymást.)

2. eset \(\displaystyle CD=DP=1\). Ekkor viszont az \(\displaystyle ADP\) háromszög szabályos, azaz \(\displaystyle P\) rajta van \(\displaystyle f\)-en. Ez az ellentmondás mutatja, hogy \(\displaystyle P\) rajta van legalább az egyik oldalfelező merőlegesen.

Végül legyen \(\displaystyle P \in e,P\notin f\) (\(\displaystyle P \in f, P\notin e\) szimmetriai okokból ugyanígy megy). Ekkor az \(\displaystyle ADP\) háromszögben az egyik szár az \(\displaystyle AD\) (hiszen \(\displaystyle P\notin f\)), a másik pedig például az \(\displaystyle AP\), azaz \(\displaystyle AD=AP=1\). Mivel \(\displaystyle P \in e\), így az \(\displaystyle ABP\) háromszög egy 1 oldalú szabályos háromszög. Ekkor a \(\displaystyle BPC\) háromszögben \(\displaystyle BP\) és \(\displaystyle BC\) a két (1 hosszú) szár, tehát valóban mind a négy létrejövő háromszög egyenlő szárú. Ekkor az \(\displaystyle APD\) és a \(\displaystyle BPC\) háromszög területe \(\displaystyle \frac{1}{4}\), hiszen 1 az egyik oldal és \(\displaystyle \frac{1}{2}\) a hozzá tartozó magasság. A másik két háromszögből az egyik egy 1 oldalú szabályos háromszög, aminek a magassága \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\), a területe pedig \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}\). Ekkor a negyedik háromszög területe \(\displaystyle \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{2-\sqrt{3}}{4}\). Ebben az esetben a háromszögek területének szorzata \(\displaystyle \frac{2\sqrt{3}-3}{256}\). Más eset pedig nincsen. (Tehát, ha \(\displaystyle P\) nem a négyzet középpontja, akkor csak a négyzet oldalára befelé állított szabályos háromszög harmadik csúcsa lehet.)

Azaz a keresett szorzat maximális értéke \(\displaystyle \frac{1}{256}\approx 0,0039\), minimális értéke pedig \(\displaystyle \frac{2\sqrt{3}-3}{256}\approx 0,0018\).

Statisztika:

222 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	131 versenyző.
4 pontot kapott:	33 versenyző.
3 pontot kapott:	19 versenyző.
2 pontot kapott:	23 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	9 dolgozat.

A KöMaL 2018. decemberi matematika feladatai