![]() |
A C. 1514. feladat (2018. december) |
C. 1514. Az egységnégyzetet négy egyenlő szárú háromszögre bontjuk úgy, hogy a négyzet egy belső pontját összekötjük a csúcsokkal. Határozzuk meg a négy háromszög területe szorzatának minimális és maximális értékét.
(5 pont)
A beküldési határidő 2019. január 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyen A,B,C és D a négyzet 4 csúcsa, és e, illetve f az AB, illetve a BC oldal felezőmerőlegese. Nyilvánvaló, hogy e∩f egy jó P pont. Ebben az esetben minden szárat P és egy csúcs közti szakasz alkot (melyek egyforma hosszúak).
Ekkor mind a 4 egyenlőszárú háromszög területe 14, azaz a szorzatuk (14)4=1256.
Most tegyük fel, hogy P∉e,f. Ilyenkor a háromszög egyik szára a négyzet oldala kell, hogy legyen. Nézzük először az APD háromszöget. Itt AD=1, és például legyen AP=1. (A DP=1 eset szimmetriai okokból ugyanígy megy.) Ekkor P rajta van az A középpontú egy sugarú (negyed)köríven. Most vegyük a DCP háromszöget. Ekkor két eset van:
1. eset: CD=CP=1, ami nem lehetséges, hiszen ekkor P-nek rajta kellene lenni a C középpontú egy sugarú (negyed)köríven is. (A két (negyed)körív viszont B-ben és D-ben metszi egymást.)
2. eset CD=DP=1. Ekkor viszont az ADP háromszög szabályos, azaz P rajta van f-en. Ez az ellentmondás mutatja, hogy P rajta van legalább az egyik oldalfelező merőlegesen.
Végül legyen P∈e,P∉f (P∈f,P∉e szimmetriai okokból ugyanígy megy). Ekkor az ADP háromszögben az egyik szár az AD (hiszen P∉f), a másik pedig például az AP, azaz AD=AP=1. Mivel P∈e, így az ABP háromszög egy 1 oldalú szabályos háromszög. Ekkor a BPC háromszögben BP és BC a két (1 hosszú) szár, tehát valóban mind a négy létrejövő háromszög egyenlő szárú. Ekkor az APD és a BPC háromszög területe 14, hiszen 1 az egyik oldal és 12 a hozzá tartozó magasság. A másik két háromszögből az egyik egy 1 oldalú szabályos háromszög, aminek a magassága √32, a területe pedig √34. Ekkor a negyedik háromszög területe 12−√34=2−√34. Ebben az esetben a háromszögek területének szorzata 2√3−3256. Más eset pedig nincsen. (Tehát, ha P nem a négyzet középpontja, akkor csak a négyzet oldalára befelé állított szabályos háromszög harmadik csúcsa lehet.)
Azaz a keresett szorzat maximális értéke 1256≈0,0039, minimális értéke pedig 2√3−3256≈0,0018.
Statisztika:
222 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 131 versenyző. 4 pontot kapott: 33 versenyző. 3 pontot kapott: 19 versenyző. 2 pontot kapott: 23 versenyző. 1 pontot kapott: 5 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 9 dolgozat.
A KöMaL 2018. decemberi matematika feladatai
|