A C. 1519. feladat (2019. január)

C. 1519. Egy háromszög két oldalának hossza $\displaystyle 31$ és $\displaystyle 22$, a hozzájuk tartozó súlyvonalak merőlegesek egymásra. Mekkora a harmadik oldal?

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. február 11-én LEJÁRT.

Megoldás.

Legyen $\displaystyle AB=31$ és $\displaystyle CB=22$ a két megadott hosszúságú oldal. Legyen $\displaystyle AB$ oldal felezőpontja $\displaystyle E$, $\displaystyle BC$-é $\displaystyle F$. Húzzuk be az $\displaystyle EF$ középvonalat, majd írjuk fel a Pitagorasz-tételt a következő négy ($\displaystyle S$-nél) derékszögű háromszögre: $\displaystyle AES$, $\displaystyle FCS$, $\displaystyle CAS$ és $\displaystyle EFS$. Ezekből rendre kapjuk, hogy

$\displaystyle \frac{4}{9}s_a^2+\frac{1}{9}s_c^2=240,25,$

$\displaystyle \frac{1}{9}s_a^2+\frac{4}{9}s_c^2=121,$

$\displaystyle \frac{4}{9}s_a^2+\frac{4}{9}s_c^2=b^2,$

$\displaystyle \frac{1}{9}s_a^2+\frac{1}{9}s_c^2=\frac{b^2}{4}.$

(Felhasználtuk, hogy az $\displaystyle S$ súlypont $\displaystyle 2:1$ arányban osztja a súlyvonalakat.) Adjuk össze az első kettő, illetve a második kettő egyenletet, kapjuk

$\displaystyle \frac{5}{9}s_a^2+\frac{5}{9}s_c^2=361,25,$

$\displaystyle \frac{5}{9}s_a^2+\frac{5}{9}s_c^2=\frac{5}{4}b^2.$

Ebből

$\displaystyle b^2=289,$

azaz

$\displaystyle b=17.$

A háromszög harmadik oldala 17.

Megjegyzések. 1. A 31, 22 és 17 oldalhosszú háromszög két megfelelő súlyvonala tényleg merőleges egymásra, azaz létezik a feladatban szereplő háromszög.
2. A megoldás úgy is elmondható, hogy $\displaystyle AEFC$ négyszög átlói pontosan akkor merőlegesek egymásra, ha az $\displaystyle EC$ és $\displaystyle AF$ átlók négyzetösszege megegyezik a négyszög oldalainak négyzetösszegével. (Ez az ismert állítás például éppen a megoldásban szereplő Pitagorasz-tételeken keresztül igazolható.)

Statisztika:

203 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	152 versenyző.
4 pontot kapott:	18 versenyző.
3 pontot kapott:	10 versenyző.
2 pontot kapott:	9 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	7 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	6 dolgozat.

A KöMaL 2019. januári matematika feladatai