A C. 1520. feladat (2019. január)

C. 1520. Határozzuk meg a $\displaystyle 2^{2019}+2019^2$ szám utolsó két számjegyét.

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. február 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Először nézzük $\displaystyle 2019^2$ utolsó két számjegyét: Elvégezve a négyzetreemelést kapjuk, hogy 61. (Elegendő 19-et négyzetre emelnünk, hiszen a szám négyzetének utolsó két jegyét meghatározza utolsó két jegye, és itt most $\displaystyle 19^2=361$.)

Most térjünk rá $\displaystyle 2^{2019}$ utolsó két számjegyére: Kezdjük el felírni a 2 hatványainak az utolsó 2 számjegyét addig, amíg nem lesz ismétlődés:

$\displaystyle 02, |04, 08, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, 48, 96, 92, 84, 68, 36, 72, 44, 88, 76, 52, | 04, 08, 16 ...$

Azaz egy 20 hosszú ciklus ismétlődik a 2. hatványtól kezdődően. Így elég megnézni, hogy 2019 a 20 hosszú ciklus hányadik eleme lesz, azaz meg kell határoznunk 2018-nak a 20-as maradékát, ami 18. Így 88 a $\displaystyle 2^{2019}$ utolsó két számjegye.

Innen $\displaystyle 2^{2019}+2019^2$ utolsó 2 számjegyére kapjuk, hogy $\displaystyle 88+61=149$ utolsó 2 jegyével egyezik meg, azaz 49.

A megadott összeg utolsó két számjegye $\displaystyle 49.$

Statisztika:

331 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	244 versenyző.
4 pontot kapott:	60 versenyző.
3 pontot kapott:	9 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	16 dolgozat.

A KöMaL 2019. januári matematika feladatai