A C. 1521. feladat (2019. január)

C. 1521. Az \(\displaystyle O\) középpontú kört \(\displaystyle E\)-ben belülről érinti egy feleakkora sugarú kör. Egy \(\displaystyle O\)-ból induló félegyenes a nagy kört \(\displaystyle P\)-ben, a kis kört pedig az \(\displaystyle O\)-tól különböző \(\displaystyle R\) pontban metszi. Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle \widehat{EP}\) és az \(\displaystyle \widehat{ER}\) körív hossza megegyezik.

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. február 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Vegyük észre, hogy a kisebbik kör átmegy a nagyobbik kör \(\displaystyle O\) középpontján, hiszen a nagyobbik kört belülről érinti és sugara feleakkora. A nagyobb kör sugarát jelöljre \(\displaystyle r\).

Először tegyük fel, hogy az \(\displaystyle O\)-ból induló félegyenes nem tartalmazza \(\displaystyle E\)-t. Legyen a kisebbik kör középpontja \(\displaystyle Q\) és \(\displaystyle ROE \angle =POE \angle = \alpha\). Ekkor a középponti és kerületi szögek tétele miatt \(\displaystyle RQE \angle = 2 \alpha\). Így

\(\displaystyle \widehat {EP}=r \cdot \alpha\)

és

\(\displaystyle \widehat {ER}= \frac{r}{2} \cdot 2 \alpha,\)

azaz a két körív hossza megegyezik, \(\displaystyle r \alpha\) mindkettő.

Végül, ha az \(\displaystyle O\)-ból induló félegyenesen rajta van \(\displaystyle E\), akkor \(\displaystyle P= R=E\), és az állítás nyilvánvalóan igaz.

Ezzel az összes esetben igazoltuk a feladat állítását.

Statisztika:

236 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	189 versenyző.
4 pontot kapott:	15 versenyző.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	12 dolgozat.

A KöMaL 2019. januári matematika feladatai