A C. 1521. feladat (2019. január)

C. 1521. Az $\displaystyle O$ középpontú kört $\displaystyle E$-ben belülről érinti egy feleakkora sugarú kör. Egy $\displaystyle O$-ból induló félegyenes a nagy kört $\displaystyle P$-ben, a kis kört pedig az $\displaystyle O$-tól különböző $\displaystyle R$ pontban metszi. Bizonyítsuk be, hogy az $\displaystyle \widehat{EP}$ és az $\displaystyle \widehat{ER}$ körív hossza megegyezik.

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. február 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Vegyük észre, hogy a kisebbik kör átmegy a nagyobbik kör $\displaystyle O$ középpontján, hiszen a nagyobbik kört belülről érinti és sugara feleakkora. A nagyobb kör sugarát jelöljre $\displaystyle r$.

Először tegyük fel, hogy az $\displaystyle O$-ból induló félegyenes nem tartalmazza $\displaystyle E$-t. Legyen a kisebbik kör középpontja $\displaystyle Q$ és $\displaystyle ROE \angle =POE \angle = \alpha$. Ekkor a középponti és kerületi szögek tétele miatt $\displaystyle RQE \angle = 2 \alpha$. Így

$\displaystyle \widehat {EP}=r \cdot \alpha$

és

$\displaystyle \widehat {ER}= \frac{r}{2} \cdot 2 \alpha,$

azaz a két körív hossza megegyezik, $\displaystyle r \alpha$ mindkettő.

Végül, ha az $\displaystyle O$-ból induló félegyenesen rajta van $\displaystyle E$, akkor $\displaystyle P= R=E$, és az állítás nyilvánvalóan igaz.

Ezzel az összes esetben igazoltuk a feladat állítását.

Statisztika:

236 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	189 versenyző.
4 pontot kapott:	15 versenyző.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	12 dolgozat.

A KöMaL 2019. januári matematika feladatai