A C. 1522. feladat (2019. január)

C. 1522. A pozitív egész számokat három sorba rendezzük a következőképpen:

Igazoljuk, hogy mindhárom sorból kiválasztható egy-egy végtelen mértani sorozat.

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. február 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Jól láthatóan az első sorozatban a 3-mal osztva 1 maradékot adó számok vannak, a másodikban a 2-t adók, a harmadikban pedig a 3-mal oszthatók. Vegyük észre, hogy ha egy számot megszorzunk egy 3-mal osztva 1 maradékot adó számmal, akkor a végeredmény 3-mal való osztási maradéka megegyezik a kiindulási száméval: $\displaystyle 3k(3l+1)=3(3kl+k)$, $\displaystyle (3k+1)(3l+1)=3(3kl+k+l)+1$, $\displaystyle (3k+2)(3l+1)=3(3kl+k+2l)+2$. Azaz kvóciensnek mindig választható például a 4.

Most nézzük sorban a sorokat. Az első sorban a $\displaystyle 3k+1$ alakú számok vannak, ilyenkor például $\displaystyle a=1$ és $\displaystyle q=4$ megad egy végtelen mértani sorozatot ($\displaystyle a,aq,aq^2,\dots$).

A második sorban $\displaystyle 3k+2$ alakú számok vannak, $\displaystyle a=2$ és $\displaystyle q=4$ meghatároz egy végtelen mértani sorozatot.

Végül a harmadik sorban a $\displaystyle 3k$ alakú számok vannak, itt például $\displaystyle a=3$ és $\displaystyle q=4$ egy jó választás.

Azaz mindhárom sorban mutattunk egy-egy végtelen mértani sorozatot.

Statisztika:

221 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	129 versenyző.
4 pontot kapott:	41 versenyző.
3 pontot kapott:	18 versenyző.
2 pontot kapott:	16 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	6 dolgozat.

A KöMaL 2019. januári matematika feladatai