 |
A C. 1522. feladat (2019. január) |
C. 1522. A pozitív egész számokat három sorba rendezzük a következőképpen:
$$\begin{align*} &1 \ \ 4 \ \ 7 \ \ 10 \ \ 13 \ \ 16\ldots\\ &2 \ \ 5 \ \ 8 \ \ 11 \ \ 14 \ \ 17\ldots\\ &3 \ \ 6 \ \ 9 \ \ 12 \ \ 15 \ \ 18\ldots \end{align*}$$Igazoljuk, hogy mindhárom sorból kiválasztható egy-egy végtelen mértani sorozat.
(5 pont)
A beküldési határidő 2019. február 11-én LEJÁRT.
Megoldás. Jól láthatóan az első sorozatban a 3-mal osztva 1 maradékot adó számok vannak, a másodikban a 2-t adók, a harmadikban pedig a 3-mal oszthatók. Vegyük észre, hogy ha egy számot megszorzunk egy 3-mal osztva 1 maradékot adó számmal, akkor a végeredmény 3-mal való osztási maradéka megegyezik a kiindulási száméval: \(\displaystyle 3k(3l+1)=3(3kl+k)\), \(\displaystyle (3k+1)(3l+1)=3(3kl+k+l)+1\), \(\displaystyle (3k+2)(3l+1)=3(3kl+k+2l)+2\). Azaz kvóciensnek mindig választható például a 4.
Most nézzük sorban a sorokat. Az első sorban a \(\displaystyle 3k+1\) alakú számok vannak, ilyenkor például \(\displaystyle a=1\) és \(\displaystyle q=4\) megad egy végtelen mértani sorozatot (\(\displaystyle a,aq,aq^2,\dots\)).
A második sorban \(\displaystyle 3k+2\) alakú számok vannak, \(\displaystyle a=2\) és \(\displaystyle q=4\) meghatároz egy végtelen mértani sorozatot.
Végül a harmadik sorban a \(\displaystyle 3k\) alakú számok vannak, itt például \(\displaystyle a=3\) és \(\displaystyle q=4\) egy jó választás.
Azaz mindhárom sorban mutattunk egy-egy végtelen mértani sorozatot.
Statisztika:
221 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 129 versenyző. 4 pontot kapott: 41 versenyző. 3 pontot kapott: 18 versenyző. 2 pontot kapott: 16 versenyző. 1 pontot kapott: 6 versenyző. 0 pontot kapott: 5 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 6 dolgozat.
A KöMaL 2019. januári matematika feladatai